Ein mehrsortiger Resolutionskalkül mit Paramodulation

Der Resolutionskalkül mit Paramodulationsregel wird zu einem mehrsortigen Kalkül erweitert. Als Grundlage für das automatische Beweisen erhält man mit diesem Kalkül einen stark reduzierten Suchraum und einfachere Beweise. Die Vollständigkeit, die Korrektheit und der Sortensatz, der den neuen Kalkül mit seinem einsortigen Gegenstück in Beziehung setzt, werden bewiesen. Ergebnisse über Grundtermersetzungen und Unifikation in einem mehrsortigen Kalkül werden vorgestellt. Die Implementierung eines automatischen Beweisers für den neuen Kalkül wird beschrieben. Die Vorteile der Methode werden anhand ausgewählter Beispiele belegt.The resolution calculus with paramodulationrule is extended to a many-sorted calculus. As a basis for Automated Theorem Proving, this many-sorted calculus leads to a remarkable reduction of the search space and also to simpler proofs. Soundness and completeness of the new calculus and the Sort-Theorem, which relates the many-sorted calculus to its one-sorted counterpart, are shown. In addition results about groundterm rewriting and unification in a many-sorted calculus are obtained. The practical consequences for an implementation of an automated theorem prover based on the many-sorted calculus are described. The advantages of the proposed method is verified by certain examples

Logizismus und Toleranzprinzip: die Beiträge von Carnap, Tarski und Gödel

Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine ausführliche historische Analyse der Rolle der Begriffe „Logizismus“ und „Toleranzprinzip“ in der Carnapschen Philosophie durchzuführen. Nur eine solche Analyse – das ist unsere These – kann eine korrekte Darstellung der grundlegenden Haltung Carnaps sowie der Entwicklung von Carnaps Gedanken ergeben. Es gibt zwei Hauptgründe für diese Meinung: Erstens, die fraglichen Begriffe sind Konstanten in Carnaps Werk, auch wenn wir von einem Prozess der Reifung der Auffassung derselben sprechen müssen; zweitens, durch diese Begriffe werden die Reaktionen Carnaps auf die technischen Innovationen in dem Gebiet der Logik im Laufe des 20. Jahrhunderts beleuchtet. Aus diesem Grund sollen auch die technischen Details der Auseinandersetzungen zwischen Carnap und den Mitgliedern des Wiener Kreises, Gödel und Tarski untersucht werden, denn sie sind nötig für das richtige Verständnis des dialektischen Prozesses, der Carnaps Methode bestimmt hat. Ohne diese Betrachtung würde sich ein womöglich falsches Bild ergeben, indem Carnaps Philosophie als eine Reihe von erfolglosen Versuchen angesehen werden könnte, lediglich um seine Überzeugungen beibehalten zu können

An den Grenzen des Endlichen

Die Arbeit widmet sich der philosophischen Diskussion des Hilbertprogramms (HP), und zwar in einem methodischen Dreischritt aus Erötertung seiner Konzeption, Analyse seiner Durchführung und Reflexion philosophischer Fragen. Zur Konzeption dieses mathematischen Grundlegungsprogramms gehören Axiomatik, Formalismus und Finitismus, sowie die Beziehung des HP zum Intuitionismus und zum Logizismus. Es wird kritisch von instrumentalistischen Auslegungen abgegrenzt. Durchgeführt wurde das Programm zuerst in den einschlägigen Arbeiten von Hilbert, Bernays, Ackermann und Gentzen. Die darin gegebenen (Ansätze zu) Widerspruchsfreiheitsbeweise(n) werden analysiert und ihre Argumentationsstruktur herausgearbeitet. Die Reflexion beschäftigt sich mit drei Problemkreisen: Poincarés Zirkularitätskritik, Gödels Unvollständigkeitssätze und Kreisels Frage nach der Rolle transfiniter Ordinalzahlen in einer finitistischen Theorie. Ein Resümee fragt, was das HP eigentlich leistet, und versucht eine differenzierte Antwort auf die Frage, ob es gescheitert ist

Mathematischer Platonismus. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik

Fragen und Problemen aus der Philosophie der Mathematik wird sowohl systematisch anhand der aktuellen wissenschaftlichen Diskussion wie auch historisch anhand der platonischen Dialoge nachgegangen. Diese Verknüpfung bringt Neues auf beiden Seiten ans Licht

Unser die Welt : sprachphilosophische Grundlegungen der Erkenntnistheorie ; ausgewählte Artikel

Die Weiterentwicklung der Gedanken, die Wilhelm K. Essler 1972 in seinem Buch "Analytische Philosophie I" vorgetragen hat, ist bislang nur in Artikeln erfolgt. Die hier vorgelegte Auswahl hat das Ziel, den Kern seines Philosophierens, nach Sachgebieten geordnet, darzustellen. Im Zentrum seines Philosophierens steht die Untersuchung des Reflektierens, genauer: des philosophischen Reflektierens, anhand semantischer und epistemologischer Beispiele. Er orientiert sich dabei nicht an der Untersuchung vorhandener Erkenntnisakte, die oft schwer faßbar und noch schwerer eindeutig bestimmbar sind, sondern an deren rationaler Rekonstruktion in Modellen, gemäß dem Vorgehen in experimentellen Wissenschaften, und das besagt in der Philosophie natürlich: in Modellsprachen. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, daß unter Einsatz des Instrumentariums der modernen Logik und ihrer Metalogik definitive Ergebnisse erzielt werden können, aufbauend auf den metalogischen Resultaten Gödels und Tarskis. In der Weiterführung der Ergebnisse von Gödel und Tarski wird gezeigt, daß die methodologische Unterscheidung von Erwähnen und Verwenden genau dem Vorgehen des semantischen Reflektierens gemäß der Sprachstufentheorie Tarskis entspricht und daß diese daher das geeignete Instrument zur Darstellung des epistemologischen Reflektierens und damit auch der erfahrungswissenschaftlichen Semantik ist. Anhand solcher präziser Sprachmodelle wird die Voraussetzungshaftigkeit allen sprachgebundenen Erkennens jeweils am Beispiel nachgewiesen. Macht man eben dieses Reflektieren zum neuen Gegenstand des untersuchenden Reflektierens, so benötigt man hierzu, will man die zuvor benützte Sprache des Reflektierens nun vollständig darstellen, abermals zusätzliche, in ihr noch nicht ausdrückbare Mittel des Reflektierens, und so fort ohne Ende. Dabei zeigt sich, daß dieses "und so fort ohne Ende" zum Problem der Grenze des Sagbaren gehört, und damit a fortiori zu den Grenzen des Philosophierens. Wie bei Platon wird Denken als ein inneres Sprechen verstanden, was eine enge Verbindung von Sprachphilosophie und Philosophie des Geistes impliziert. In neueren Untersuchungen hat Wilhelm K. Essler gezeigt, daß die Grundgedanken der buddhistischen Philosophie des Geistes mit diesen Ergebnissen des Reflektierens weitgehend übereinstimmen, daß jedoch diese über zwei Jahrtausende alte buddhistische Philosophie darüber hinaus auch Instrumente zur individuellen Anwendungen einer solchen sprachphilosophisch und erkenntnistheoretisch untermauerten Philosophie des Geistes enthält, die diese dann zu einer gelebten Philosophie werden lassen können, mit dem Ziel des Mottos, das auf der Eingangspforte des Tempels von Delphi zu lesen stand, nämlich: "Erkenne Dich selbst!

Requirements Specification, Behavioral Specification and Checking of object-oriented Interlocking Systems using Multi-Object Logics, UML State Machines and Multi-Object Checking

Rechner haben durch ihre Programmierbarkeit und ihre Leistungsfähigkeit in nahezu sämtliche Bereiche des täglichen Lebens Einzug gehalten. Für den Einsatz rechnergestützter Systeme in sicherheitskritischen Umgebungen ist ein Nachweis für die korrekte Funktion von Hard- und Software zu erbringen. Unter dem Gesichtspunkt der Wirtschaftlichkeit erfordert die Entwicklung sicherheitskritischer Systeme den Einsatz automatisierbarer Verfahren, die diesen Nachweis unterstützen. Während relevante Normen die Anwendung formaler und damit automatisierbarer Verfahren empfehlen, existieren keinerlei Kriterien, welche Formalismen wie adäquat oder gar effizient eingesetzt werden können. Universelle Beschreibungssprachen wie die Unified Modeling Language (UML) erfahren durch die hohe Verfügbarkeit von Entwicklungswerkzeugen zunehmende Verbreitung, können den Anforderungen an Formalität und Verifikationsunterstützung jedoch nicht nachkommen. In der vorliegenden Arbeit wird eine Methodik zur Unterstützung des Entwicklungsprozesses sicherheitskritischer Systeme an einem Beispiel aus der Leit- und Sicherungstechnik im Eisenbahnwesen entwickelt. Die Methodik greift dabei Darstellungskonzepte der UML geeignet auf, so dass vorhandene Entwicklungswerkzeuge weiterhin Verwendung finden können. Die vorgestellte Methodik umfasst die Formalisierung der funktionalen Anforderungen in Formeln in der Multi-Objektlogik D1, die über mehrfach erweiterten Kripke-Strukturen interpretiert werden. Mehrfach erweiterte Kripke-Strukturen bilden ebenfalls die Grundlage für kommunizierende Zustandsmaschinen, die durch Zerlegung aus UML-Zustandsmaschinen generiert werden können. Durch die gemeinsame Basis von Anforderungs- und Verhaltensspezifikation wird die Anwendung des effizienten, automatisierbaren Multi-Object Checking Verfahrens zur Verifikation möglich. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde dieses Verfahren um einen Mechanismus zur Generierung von Fehlerszenarien erweitert. Dieser findet sowohl bei der Verifikation zur Fehlerlokalisation im Modell als auch bei der Validation zur Generierung von Testfällen Anwendung, so dass nicht nur die Verifikation sondern auch die Validation geeignet unterstützt werden. Die Anwendbarkeit der Methodik wird an einem Fallbeispiel, der Entwicklung einer Stellwerkslogik, demonstriert.Due to their programmability and their high capabilities, computers have entered almost all areas of everyday life. In order to use computer-based systems in a safety-critical environment, the proper function of hardware and software has to be certified. For economic reasons, the development of safety-critical systems requires automation providing such evidence. Whereas relevant norms recommend the application of formal and for this reason automatable methods, criteria regarding how to apply which formalism adequately or even efficiently do not exist yet. As a result of their large amount of available development tools, modeling languages like the Unified Modeling Language (UML) have become more and more popular. However, the UML does not meet the requirements as to formality or as to verification support. In this thesis, a methodology to support the development process of safety-critical systems is developed, using an example of the operation and control technology in railway systems. The methodology reuses UML concepts in such a way that existing development tools can be applied. The provided methodology includes the formalization of functional requirements as Multi-Object Logic D1 formulas. These formulas are interpreted over several times extended Kripke structures which are the basis for communicating state machines. As UML state machines can be decomposed into communicating state machines, UML state machines become applicable in the behavior specification phase. Due to the common basis of the requirements and the behavioral specification, the Multi-Object Checking procedure can be utilized for verification. In this thesis, the Multi-Object Checking procedure is extended by a scenario generation feature in case a Multi-Object Checking property does not hold. This feature can be applied both to verification for fault localization in the model and to validation for test case generation. The applicability of the methodology is demonstrated, using the example of the development of an interlocking logic

Fundamentale Ideen der Mathematik : Weiterentwicklung einer Theorie zu deren unterrichtspraktischer Nutzung

Konzeptionen Fundamentaler Ideen der Mathematik drücken seit ihrer erstmaligen Formulierung durch BRUNER 1960 den Wunsch aus, Mathematikunterricht an wenigen zentralen Aspekten von Mathematik zu orientieren, die reichhaltig miteinander vernetzt eine Rekonstruktion von Mathematik im Unterricht ermöglichen. Somit sollen Stofffülle und Stoffisolierung verhindert werden. Ausgehend von einer Analyse der deutschen mathematikdidaktischen Forschungstradition wird eine Theorie Fundamentaler Ideen vorgestellt, die bereits bestehende Konzepte in verschiedene Ideenkategorien zusammenführt und ergänzt. Sie beschreiben Mathematik sowohl als Prozess durch Prozess-, Tätigkeits- und Schnittstellenideen als auch als Produkt durch Theorie-, Begriffs- und Inhaltsideen. Zudem werden mit den Persönlichkeitsideen Bereiche der Persönlichkeit (individuelle Denkweisen und Einstellungen zum Forschen) in den Blick genommen, die von großen Mathematikern (z.B. POINCARÉ und HADAMARD) als wesentlich für den mathematischen Forschungsprozess herausgestellt wurden. Die vorgestellte Theorie ist für den Einsatz im Mathematikunterricht zunächst zu komplex. Durch eine unterrichtspragmatische Reduktion werden die Ideenkategorien zusammengefasst und konkretisiert. Somit entsteht als strukturiertes und strukturierendes Analysewerkzeug der Vernetzungspentagraph. Dieser kann zur Analyse von Unterrichtsmaterial auf dort vorhandene oder ausgelassene Fundamentale Ideen und Vernetzungen zwischen ihnen eingesetzt werden.Since Bruner first devoloped the concept of fundamental ideas in 1960, these have always referred to the request that topics in mathematics classroom could be focussing on some central aspects of mathematics that are highly connected and therefore allow the reconstruction of the mathematical field in school education. As a consequence an overload as well as an isolation of contents should be prevented. Based on an analysis of previous research in mathematical didactics, this research work will present a theory of fundamental ideas that brings together and complements previous concepts. The resulting theory includes both the process side of mathematics with the so-called „Prozess-“ , „Tätigkeits-“ and „Schnittstellenideen“ and the its product side with the so-called „Theorie-“, Begriffs-“ and „Inhaltsideen“. Furthermore the so-called „Persönlichkeitsideen“ refer to the importance of ideas relating to the personality of the researcher (his or her individual mindset and attitudes towards the research) like they were named by prominent mathematical researchers (e.g. POINCARÉ and HADAMARD). For an implementation on mathematical education in schools, the presented theory is far too complex. Consequently it needs to be reduced and concretised to its core relevant to teaching mathematics. The result is a structured an structuring model, called „Vernetzungspentagraph“, which may serve as an instrument for analysing textbooks of fundamental ideas and connections between them

Kohärenz : Grundfragen der linguistischen Kommunikationsanalyse

Dieses Buch ist die leicht überarbeitete und um zwei Kapitel (Kap. 7 und 9) erweiterte Fassung meiner im Sommer 1978 abgeschlossenen Habilitationsschrift. Der Untertitel der früheren Fassung "Grundfragen der Dialoganalyse" sollte, bewußt mehrdeutig, darauf hinweisen, daß der Gegenstand der Untersuchung vor allem dialogische Kommunikationsformen waren und daß eine Besonderheit der Untersuchungsmethode in einem dialogischen Analyseverfahren lag. Im jetzt vorliegenden Text wird das dialogische Verfahren auch auf eine eher monologische Kommunikationsform, das Erzählen, angewendet, so daß noch deutlicher hervortritt, daß die behandelten Probleme allgemein als Grundfragen einer linguistischen Kommunikationsanalyse gelten können