Anwendung von stetigen Runge-Kutta-Verfahren auf Probleme der optimalen Steuerung

In dieser Arbeit wird mit Hilfe stetiger Erweiterungen von Runge-Kutta-Verfahren eine stetige Diskretisierungsmethode für optimale Steuerungsprobleme vorgestellt. Stetige Diskretisierungsmethoden liefern dabei nicht nur eine Folge von Näherungen auf immer feiner werdenden Zeitgittern, sondern eine Folge von stetigen Näherungslösungen, welche die Optimallösung auf dem ganzen Zeitintervall bezüglich geeigneter Sobolev-Normen mit hoher Genauigkeit approximieren. Es wird in einer vollständigen mathematischen Konvergenzanalyse gezeigt, dass man unter einer Glattheitsvoraussetzung und der Koerzivitätsbedingung die gleiche Konvergenzordnung für die Diskretisierung des Steuerungsproblems erhält, wie das stetige Runge-Kutta-Verfahren in den Gitterpunkten und an allen Zwischenpunkten hat. Es wird ein indirektes Verfahren zur numerischen Lösung eines Problems der optimalen Steuerung vorgeschlagen, und gezeigt das die Verwendung des indirekten Verfahrens keine relevanten Nachteile, gegenüber einem direkten Verfahren, angewandt auf ein Steuerungsproblem, welches zuvor auf ein Zeitgitter diskretisiert wurde, mit sich bringt. An Modellbeispielen wird das Verfahren getestet und die Konvergenzordnung der Diskretisierung visualisiert. Als Grundlage dieser Arbeit dienten einige Arbeiten von A. Dontchev und W. W. Hager, in denen die diskrete Konvergenz von Runge-Kutta-basierten Diskretisierungen untersucht wurden. Die Diskretisierung mit stetigen Runge-Kutta-Verfahren hat den Vorteil, dass die diskretisierten Operatoren dieselben Bild- und Urbildräume haben wie der stetige Operator. Stetige Runge-Kutta-Verfahren sind bei der numerischen Lösung retardierter Differentialgleichungen verbreitet und dementsprechend gut untersucht. Eine ähnliche Diskretisierung von Steuerungsproblemen mit stetigen Runge-Kutta-Verfahren wurde bisher nur in einer Arbeit von Diele, Marangi und Ragni vorgeschlagen, wo man allerdings keine mathematisch begründete Fehlerabschätzung findet

Stetige Galerkinverfahren für zeitabhängige Maxwellgleichungen mit Kerr-Nichtlinearität

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der numerischen Behandlung der zeitabhängigen Maxwellgleichungen mit nichtlinearen Termen. Zur Diskretisierung wir ein stetiges Galerkinverfahren (cG) verwendet und die Konvergenz bewiesen. Weiterhin wird ein cG-Verfahren entwickelt, mit dem man lokale Zeitschritte durchführen kann

Zur Numerik nichtlinearer dynamischer Systeme: Teil 1: Gleichgewichtslösungen

Der Beitrag stellt die wesentlichen Algorithmen vor, die der Berechnung und Analyse von Gleichgewichtslösungen nichtlinearer dynamischer Systeme – beschrieben durch gewöhnliche Differenzialgleichungen – dienen. Schwerpunkt sind dabei parameterabhängige Systeme, für die praktikable Fortsetzungsmethoden eingeführt werden. Schließlich werden auftretende Bifurkationen klassifiziert und Verfahren zu deren Detektierung vorgestellt. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben dienen dabei der besseren Veranschaulichung abstrakter Sachverhalte.MSC 2010: 37M20 ; 65P30 ; 65P40 ; 65H1

Transformationen zur Vermeidung numerischer Dispersion und Verfahren zur Steuerung der Zeitschrittweite für die numerische Optionsbewertung

Die numerische Bewertung amerikanischer Optionen erfordert die Lösung eines linearen Komplementaritätsproblems, dessen Bestandteil die Black-Scholes (Un)gleichung ist. Finite-Differenzen-Diskretisierungen dieser partiellen Differentialgleichung (PDE) können numerische Dispersion erzeugen. Die daraus resultierenden Oszillationen machen ein Hedging der Option unmöglich. Durch geeignete Transformationen ist es möglich, numerische Dispersion zu vermeiden. Diese Arbeit analysiert die Dispersions-Eigenschaften bekannter und neuer Transformationen der Black-Scholes PDE. Für dispersionsfreie Transformationen wird das Problem in eine zeitabhängige Folge von Linearen Programmen überführt. Aufgrund der vorzeitigen Ausübungsmöglichkeit ist für jeden dieser Zeitschritte eine Glättung der numerischen Lösung mittels L-stabiler Diskretisierungsverfahren notwendig. Um den numerischen Aufwand gering zu halten werden verschiedene Verfahren vorgestellt, die die Anzahl der notwendigen Zeitschritte reduzieren. Der Knackpunkt ist dabei der zeitlichen Verlauf der Lösung der PDE. Die Black-Scholes PDE ist eine Verwandte der Wärmeleitungsgleichung und zeigt ein qualitativ ähnliches Verhalten. Es stellt sich heraus, das diese Schrittweitensteuerung effektiv arbeitet. Trotz der teureren Verwendung einer alternativen Lösung wird ein Speed-up zu den bisher gebräuchlichen Verfahren erreicht. Allerdings steckt der Aufwand nun hauptsächlich im Auffinden der Ausübungsgrenze. Die gefundenen Methoden lassen sich auf einige exotische Optionstypen übertragen

Diskrete-Elemente-Simulationen zum mehraxialen Schädigungsverhalten von Beton

Die Methode der Diskreten Elemente ist eine neue, alte Methode, beruhend auf den Newtonschen Axiomen, praktikabel geworden durch die rasante Entwicklung der Rechentechnik in den vergangenen fünfzig Jahren. Es handelt sich um einfach zu beschreibende, vielfältig einsetzbare, aber rechenintensive Methode. Die Methode der Diskreten Elemente ist jene Methode, von der viele Menschen – nicht nur Laien -- glauben, dass es die Methode der Finiten Elemente sei. Die Methode ermöglicht es, mit vergleichsweise geringem Programmieraufwand spektakuläre Ergebnisse zu erzielen. Die Notwendigkeit zur Lösung schwach besetzter großer linearer Gleichungssysteme entfällt ebenso, wie eine komplizierte Netzgenerierung, die Assemblierung von Systemmatrizen und die damit verbundenen, aufwändigen Optimierungsstrategien. Die Methode der Diskreten Elemente gehorcht implizit streng jenen – stets gültigen – Energieprinzipien, auf die sich andere Methoden wie die Methode der Finiten Elemente bei Herleitungen explizit berufen, während sie tatsächlich lediglich mit Näherungen für (sehr) kleine Verformungen arbeiten. Bei entsprechender Auslegung lassen sich alle an der Simulation beteiligten Elemente als materielle Bestandteile oder beruhend auf der Wechselwirkung materieller Bestandteile auffassen. Kontaktelemente oder gar geeignet platzierte Risselemente werden nicht benötigt. Risse äußern sich durch die Abwesenheit von Materie. Das Phänomen der Überadditivität ist in Partikelsimulationen von vornherein angelegt. Partikelmethoden eignen sich daher hervorragend zum modellhaften Studium komplexer Systeme. Die Parameteridentifikation und Parameteranpassung von Diskrete-Elemente-Modellen gestaltet sich schwierig, sobald die Gültigkeit des Superpositionsprinzips nicht mehr gegeben ist. Dies ist jedoch kein Mangel der Methode, sondern Folge von Interaktion und Überadditivität. Die Methode eignet sich hervorragend zur Generierung virtueller Probekörper und zum Preprocessing im Zusammenwirken mit anderen Simulationsmethoden. Visualisierungen der mit Partikelmethoden erhaltenen Ergebnisse sind von hohem anschaulichem und didaktischem Wert. Die Methode ist sehr flexibel, so dass die Simulationsergebnisse bei entsprechender Parametergestaltung keiner künstlichen Überhöhung bedürfen. Die Methode der Diskreten Elemente ist eine entdeckende Methode. Sie besitzt – wie jede andere Methode – Methodencharakter, die auf ihrer Grundlage entwickelten Modelle – wie alle Modelle – Modellcharakter

Direkte und inverse elektromagnetische Streuprobleme für lokal gestörte periodische Medien

We consider the direct and inverse scattering problem of electromagnetic and acoustic wave phenomena for an unbounded, inhomogeneous and bi-periodic media, which includes a local defect. At first, we show the unique solvability of the vector valued scattering problem formulated in terms of the Maxwell's equations, as well as the scalar valued scattering problem modeled by the Helmholtz equation, by assuming some reasonable presumptions on the regularity of the parameter. Moreover, we show some regularity results for the Bloch-Floquet transformed solution w.r.t. the quasiperiodicy and derive a numerical method for the approximation of the solution based on the finite-elements method. We continue with the inverse problem of reconstructing the perturbation. For that, we consider different measurement operators, prove the injectivity and apply a Newton method. Furthermore, we introduce the Factorization method as a fast imaging method to localize the support of the perturbation

Echtzeitfähige Simulation steifer Modelle für Anwendungen in Fahrzeug-Steuergeräten

In vorliegender Arbeit wird die Echtzeitsimulation steifer Modelle für den Einsatz auf Fahrzeug- Steuergeräten untersucht. Am Beispiel eines steifen Modells einer Rohrströmung wird untersucht, wie durch den Einsatz geeigneter numerischer Verfahren eine echtzeitfähige Simulation des Modells auf einem Fahrzeug-Steuergerät erreicht werden kann. Im Rahmen der Lösung der zu Grunde liegenden Differentialgleichung mittels eines linear-impliziten Euler-Verfahrens werden für die Berechnung einer Approximation der Jacobi-Matrix anstelle eines Differenziationsverfahrens verschiedene auf das Rohrmodell zugeschnittene Arten der Approximation der Einträge eingesetzt, was eine Verallgemeinerung der von Schiela und Bornemann beschriebenen Sparsing Methode darstellt. Dies führt zu einer signifikanten Reduktion der für die Approximation der Jacobi-Matrix benötigten Rechenzeit sowie zu einer Vereinfachung des linearen Gleichungssystems des linear-impliziten Euler-Verfahrens. Insgesamt wird hierdurch ein echtzeitfähiger Einsatz des Rohrmodells erreicht. Darüber hinaus wird untersucht, wie der Rechenaufwand zur Lösung des dünn besetzten linearen Gleichungssystems des linear-impliziten Euler-Verfahrens reduziert werden kann, falls der Ansatz der maßgeschneiderten Approximationsweise für die Jacobi-Matrix des Rohrmodells nicht eingesetzt wird. Hierzu wird eine Block-Gauß Elimination eingesetzt, bei der die mit dem Schur-Komplement assoziierten Zustände beim Rohrmodell dahingehend bestimmt werden, dass sowohl das reduzierte System als auch das Restsystem eine günstige Struktur besitzen. Für den potentiellen Einsatz auf zukünftigen Fahrzeug-Steuergeräten wird das Parareal Verfahren untersucht, das eine Parallelisierung der Zeitintegration ermöglicht. Am Beispiel der Leitanwendung wird eine Wahl der Parameter des Verfahrens diskutiert. Desweiteren wird der Einsatz eines vereinfachten Modells für die grobe Stufe des Parareal Verfahrens beim Rohrmodell angewandt. Insgesamt wird durch die Arbeit aufgezeigt, dass die Eignung von Simulationen steifer Modelle für den Einsatz bei Echtzeitanwendungen auf Fahrzeug-Steuergeräten durch die untersuchten numerischen Verfahren signifikant erhöht werden kann

computer-aided transient simulation of switched power electronic circuits

Die Leistungselektronik zählt zu den sogenannten Schlüsseltechnologien. Sie findet überall dort Verwendung, wo elektrische Energie umgeformt werden muss. Sei es die Stromversorgung eines Prozessors, die Motorelektronik einer Waschmaschine, das Vorschaltgerät einer LED-Lampe, unzählige Steuergeräte im Automobil oder die Anbindung regenerativer Energiequellen an das Versorgungsnetz. Die Anwendungsbereiche sind äußerst vielfältig. Fortschritte im Gebiet der Leistungselektronik wirken sich dadurch direkt auf die Einsatzgebiete aus und erlauben noch effizientere, kleinere und kostengünstigere Gesamtlösungen. In den letzten Jahren prägt ein hoher Anteil an Modellbildung und Simulation zunehmend die Entwicklung moderner Leistungselektronik. Der große wirtschaftliche Druck auf die Hersteller sowie die zunehmende Komplexität der Schaltungen stellen den Schaltungsentwickler vor Herausforderungen, die er nur durch eine simulationsbasierte Vorgehensweise beherrschen kann. So helfen Simulationsergebnisse die Funktionsweise und Zusammenhänge besser und schneller zu verstehen sowie die Schaltungsparameter optimal an die Entwicklungsziele anzupassen. Ausgehend von einem Überblick über aktuelle Lösungsansätze zur Schaltungssimulation, beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit der Entwicklung eines neuen Programms zur transienten Simulation getakteter, leistungselektronischer Schaltungen. Die rechnerinterne Beschreibung geschieht, ausgehend von einer SPICE-Netzliste, mit Hilfe stückweise linearer Netzwerke im Zustandsraum. Durch eine Eingangsgrößenmodellierung, d. h. dem Ersetzen der unabhängigen Strom- und Spannungsquellen durch Ersatznetzwerke, gelingt die Reduktion auf ein homogenes Differentialgleichungssystem. Virtuelle Widerstände helfen unterbestimmte Netzwerke, wie sie im Zusammenhang mit idealen Schaltern auftreten können, zu beheben. Ebenfalls eine mögliche Folge der Verwendung idealer Schaltelemente sind inkonsistente Anfangswerte der dynamischen Schaltungselemente, die das Programm selbstständig mit Hilfe der Gesetze zur Ladungs- bzw. Flusserhaltung löst. Die dabei auftretenden Spannungs- und Stromimpulse werden mittels ihres Gewichts quantitativ erfasst und ermöglichen die automatische Auffindung des korrekten Zustands aller als stückweise linear modellierten, nichtlinearen Schaltungselemente. Maßgeblich für die benötigte Simulationsdauer ist unter anderem die Bestimmung des Zeitpunkts intern gesteuerter Unstetigkeiten, bspw. dem Ein- bzw. Ausschaltzeitpunkt idealer Dioden. Dieser wird mit Methoden der Intervallarithmetik abgeschätzt und durch iteratives Auswerten durch immer kleinere Zeitintervalle zuverlässig eingegrenzt. Eine Blockdiagonalisierung der Systemmatrix mit anschließender Eigenwertverschiebung liefert die für die Abschätzung nötige, analytische Lösung der Matrixexponentialfunktion. Die Kombination all dieser Methoden erlaubt eine hochgradige Ausnutzung des Potenzials der stückweise linearen Modellierung. Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Simulationswerkzeug ermöglicht es dem Schaltungsentwickler, einzig auf Basis einer SPICE-Netzliste, zuverlässige und hochgenaue Ergebnisse mit geringem Rechenaufwand zu erhalten.Power electronics is a key enabling technology which can be found wherever electric power has to be controlled and converted. Its extremely wide application area ranges from power supplies for CPUs to motor electronics of washing machines to LED lamp ballasts to countless car control units and to grid integration of regenerative energy sources. Progress in power electronics, thus, has large implications on many other areas and enables more efficient, smaller and less expensive solutions. The design process of modern power electronics is characterised by a large amount of modeling and simulation. A simulation-based approach helps the circuit designer to master the conflict between the demand for shorter time to market and an ever increasing circuit complexity. Simulation results allow to understand a circuit's basic operation and let the designer optimize parameter values to reach specified design constraints. Based on an overview of the state of the art of circuit simulation this thesis develops a new computer simulation software aimed at switched power electronic circuits. Within computer memory, state-space matrices, derived from piece-wise linear networks, represent the circuit, which itself is defined by a SPICE-netlist. Replacing the networks' independent sources by equivalent circuits allows a formulation as an homogeneous differential equation system. Under-determined networks, which can occur with ideal switches, are fixed using virtual resistors. Networks with ideal switches may as well exhibit inconsistent initial conditions of energy storing circuit elements. The simulator uses the laws of charge and flux conservation to solve this issue. Accompanying impulses in voltage or current are quantified by their weight and allow the automatic state detection of all piece-wise linear elements. During the transient analysis some circuit components, e. g. diodes, cause breakpoints controlled by internal quantities. The detection of these events exhibits a large impact on simulation time. The corresponding time instants are bound iteratively by increasingly narrow intervals employing methods from interval analysis. Block diagonalisation of the system matrix in combination with eigenvalue shifting enables the analytical expressions required for the upper and lower bounds of the matrix exponential function. The combination of all these methods provides access to the full potential of piece-wise linearly modeled circuits. The proposed simulation tool allows circuit designers to get reliable and highly accurate simulation results in short time on the basis of a SPICE-netlist without the need for any further user input

Modeling of boundary-coupled multi-field systems and numerical analysis of sliding soil materials

Der Wandel des Klimas wird mit einer Zunahme signifikanter Hangrutschungen einhergehen, mit den daraus resultierenden Risiken für Menschenleben und Sachwerte. Der Entwicklung leistungsfähiger Modelle zur Untersuchung der Initiierung von Rutschungen und für die Prognose der Bewegung von Rutschmassen kommt damit zukünftig große Bedeutung zu. In dieser Arbeit ist eine Methodik zur numerischen Analyse von Hangrutschungen unter großen Verformungen und bei wesentlichen topologischen Änderungen vorgestellt. Dafür ist ein einheitliches Modell zur Beschreibung rutschender granularer Bodenmaterialien und umgebender fluider Medien im Rahmen oberflächengekoppelter Mehrfeldsysteme gewählt. Die Beschreibung der betrachteten Prozesse erfolgt mit den Modellgleichungen der Kontinuumsmechanik. Das Materialverhalten anstehender Fluide ist als inkompressibel angenommen und mit linear-viskosen Fluidmodellen erfasst. Für die Beschreibung granularer Bodenmaterialien sind verschiedene Formulierungen getestet. Auf Grundlage einer Fluidformulierung ist der fließende Boden als inkompressibles viskoplastisches Fluid modelliert und auf Grundlage einer Feststoffformulierung als kompressibles elasto-viskoplastisches Material. Die Erfassung der Bewegung von Teilkontinua-Grenzflächen erfolgt mit der Level-Set-Methode. Die nichtlinearen Modellgleichungen sind mit der Raum-Zeit-Finite-Element-Methode diskretisiert und im Rahmen eines Picard-Iterationsschemas numerisch gelöst. Mit grenzflächenseitig unterschiedlichen Materialien treten unstetige Lösungsverläufe in Form von starken und schwachen Diskontinuitäten auf. Zu deren Erfassung werden die Ansatzräume im Rahmen der erweiterten Finite-Element-Methode (XFEM) um Ansätze zur Beschreibung von Lösungsunstetigkeiten erweitert. Die Konstruktion der dafür verwendeten Anreicherungsfunktionen ist mit der Level-Set-Lösung realisiert. Starke Unstetigkeiten sind so in natürlicher Weise erfasst, während schwach unstetige Lösungsverläufe mit Nitsche’s Methode bzw. lokal gemischt-hybriden Methoden erzwungen werden. So werden zur Erfassung unstetiger Lösungsverläufe keine zusätzlichen Freiwerte eingeführt. Ausgewählte akademische Beispiele dienen der Verifikation der eingesetzten Submodelle. Die grundsätzlichen Möglichkeiten des Gesamtmodells sind anhand der Rutschung verschiedener Modellhänge in Interaktion mit den anstehenden Fluiden Luft und Wasser bei der Entstehung von Impulswellen demonstriert.Climatic changes will be accomponied by an increase of significant landslides causing increased threat to human lives and material values. Therefore, future developments of efficient numerical models for the analysis of initial landslide processes and the prediction of landslide motions are of great importance. This work introduces a methodology for numerical analysis of landslides experiencing considerable deformations and topological changes. For this purpose sliding granular soil materials and surrounding fluids are uniformly described within a boundary-coupled multi-field system approach. For all materials the description of considered processes is carried out with the model equations of continuum mechanics. Material behavior of present fluids is modeled as incompressible, governed by a linear-viscous material law. For the behavior of granular soil materials several formulations are tested. Fluid-like behavior is modeled with an incompressible viscoplastic fluid and solid-like behavior is modeled with a compressible elastic-viscoplastic material. Within an interface capturing approach, all material interfaces are described by the level-set-method. The nonlinear model equations are discretized with space-time finite elements. Numerical solutions are obtained in a Picard iterative process. With different materials on both sides of interfaces non-smooth solutions in terms of strong and weak discontinuities occur. In order to determine these discontinuities the ansatz spaces are extended with discontinuous ansatz functions in the framework of extended finite-element-methods (XFEM). The construction of the commonly used enrichment functions is carried out the level-set solution. Therefore, strong discontinuities are determined naturally, while weak discontinuities are enforced with Nitsche’s method or localized mixed-hybrid methods. In both cases discontinuous solutions can be determined whithout the need of supplementary variables. In order to verificate the implemented submodels selected academic examples are used. The general possibilities of the whole model are shown by means of sliding of different slope materials in interaction with the surrounding fluids air and water during the generation of impulse waves