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    Idempotents de Jones-Wenzl évaluables aux racines de l’unité et représentation modulaire sur le centre de Uqsl(2)

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    Let p an integer. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley - Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalize the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group Uqsl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL2(Z) on the center of Uqsl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL2(Z).Soit p un entier. On définit une famille d’idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines 4p-ième de l’unité qui généralisent les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint Uqsl(2), où q est une racine 2p-ième de l’unité. A l’instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d’écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d’obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de SL2(Z) de [LM94] induite sur le centre de Uqsl(2), qui éten

    Motifs des fibrés en quadriques et jacobiennes intermédiaires relatives des paires K3-Fano

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    This thesis consists of two parts. In the first part we study the Chow motive of a quadric bundle of odd relative dimension over a surface. We show that this motive admits a decomposition which involves the Prym motive of the double covering of the discriminant curve.In the second part, we consider Lagrangian fibrations, obtained as relative intermediate Jacobians of families of Fano threefolds containing a fixed K3 surface, and the existence of a symplectic compactification. In a particular case, we study a partial compactification using calculations with the software system Macaulay2.Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie on étudie le motif de Chow d’un fibré en quadriques de dimension relative impaire sur une surface. On montre que ce motif admet une décomposition qui fait intervenir le motif de Prym du revêtement double de la courbe discriminante. Dans la deuxième partie on s’intéresse à des fibrations lagrangiennes, obtenues comme jacobiennes intermédiaires relatives des familles de variétés de Fano de dimension trois contenant une surface K3 fixée, et à l’existence d’une compactification symplectique. Dans un cas particulier, on étudie une compactification partielle en utilisant des calculs avec le logiciel Macaulay2

    Grandes déviations d'exposants de Lyapunov dans les systèmes étendus

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    Lyapunov exponents are natural observables to quantify the chaoticity of a trajectory. They thus appear as good candidates to discriminate between different dynamical regimes, allowing to study phenomena such as the onset of turbulence—which goes hand in hand with the emergence of chaotic trajectories in an otherwise regular flow—or the glass transition—which can be seen as a transition from diffusive dynamics to an arrested, frozen-in, and ergodicity-breaking regime.The present thesis strives to apply the thermodynamic formalism of Sinai, Ruelle and Bowen—which transposes in trajectory space the language of equilibrium statistical physics—to fluctuations of Lyapunov exponents in spatially extended systems, for which only few results are available.We begin by presenting a numerical method to sample trajectories of atypical chaoticity in spatially extended systems, hence revealing their various dynamical structures. We also exhibit how this algorithm can be used to measure the dynamical free energy, opening the way for the study of dynamical phase transitions resulting from the possible coexistence of these structures. This method is in particular applied to the Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPU) chain of anharmonic oscillators.Next, we show how fluctuations of the largest Lyapunov exponent in systems of interacting particles with underlying diffusive dynamics can be analytically characterized. Carrying out this program allows us to establish interesting connections with damage spreading and reaction-diffusion processes.Les exposants de Lyapunov sont une observable naturelle pour quantifier la chaoticité d'une trajectoire. Ils peuvent donc être utilisés pour distinguer des régimes dynamiques différents, ce qui peut permettre l'étude de phénomènes tels que l'apparition de la turbulence, qui correspond à l'émergence de trajectoires chaotiques dans un écoulement auparavant régulier, ou la transition vitreuse, qui peut être vue comme le passage d'une dynamique diffusive à un régime gelé. L'objet de cette thèse est d'appliquer le formalisme thermodynamique de Sinai, Ruelle et Bowen, qui transpose dans l'espace des trajectoires le langage de la physique statistique d'équilibre, aux fluctuations d'exposants de Lyapunov dans les systèmes étendus pour lesquelles peu de résultats sont disponibles.Dans un premier temps, on présente une méthode numérique pour échantillonner des trajectoires de chaoticité atypique dans un système étendu, révélant ainsi ses différentes structures dynamiques. Cet algorithme permet également de mesurer l'énergie libre dynamique, ouvrant la voie à l'étude des transitions de phase dynamique dues à l'éventuelle coexistence de ces différentes structures. Il est ensuite appliqué notamment à la chaîne d'oscillateurs anharmoniques de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPU). On montre dans un second temps comment déterminer analytiquement les fluctuations du plus grand exposant de Lyapunov dans des systèmes de particules en interaction dont la dynamique sous-jacente est diffusive. Ce faisant, on établit des liens avec la propagation de défauts et les processus de réaction-diffusion

    Décomposition de Hodge-Helmholtz discrète

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    We propose in this thesis a methodology to compute the Helmholtz-Hodge decomposition on discrete polyhedral meshes. The challenge of this work isto preserve the properties of the decomposition at the discrete level. In our literature survey, we have identified the need of mimetic schemes to achieve our goal. The description and validation of our implementation of these schemes are presented inthis document. We revisit and improve the methods of decomposition we then study through numerical experiments. In particular, we detail our choice of linear solvers and the convergence of extracted quantities on various series of polyhedral meshes and boundary conditions. Finally, we apply the Helmholtz-Hodge decomposition to the study of two turbulent flows: a turbulent channel flow and a homogeneous isotropic turbulent flow.Nous proposons dans ce mémoire de thèse une méthodologie permettant la résolution du problème de la décomposition de Hodge-Helmholtz discrète sur maillages polyédriques. Le défi de ce travail consiste à respecter les propriétés de la décomposition au niveau discret. Pour répondre à cet objectif, nous menons une étude bibliographique nous permettant d'identifier la nécessité de la mise en oeuvre de schémas numériques mimétiques. La description ainsi que la validation de la mise en oeuvre de ces schémas sont présentées dans ce mémoire. Nous revisitons et améliorons les méthodes de décomposition que nous étudions ensuite au travers d'expériences numériques. En particulier, nous détaillons le choix d'un solveur linéaire ainsi que la convergence des quantités extraites sur un ensemble varié de maillages polyédriques et de conditions aux limites. Nous appliquons finalement la décomposition de Hodge-Helmholtz à l'étude de deux écoulements turbulents : un écoulement en canal plan et un écoulement turbulent homogène isotrope

    Calculabilit\'e de la cohomologie \'etale modulo l

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    Let XX be an algebraic scheme over an algebraically closed field and â„“\ell a prime number invertible on XX. According to classical results (due essentially to A. Grothendieck, M. Artin and P. Deligne), the \'etale cohomology groups Hi(X,Z/â„“Z)\mathrm{H}^i(X,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) are finite-dimensional. Using an â„“\ell-adic variant of M. Artin's good neighborhoods and elementary results on the cohomology of pro-â„“\ell groups, we express the cohomology of XX as a well controlled colimit of that of toposes constructed on BGBG where the GG are computable finite â„“\ell-groups. From this, we deduce that the Betti numbers modulo â„“\ell of XX are algorithmically computable (in the sense of Church-Turing). The proof of this fact, along with certain related results, occupies the first part of this paper. This relies on the tools collected in the second part, which deals with computational algebraic geometry. Finally, in the third part, we present a "universal" formalism for computation on the elements of a field.Comment: In French. v2 has been considerably reworked and expanded. v3 incorporates slight corrections and simplifications and a few additions (notably: computability of the morphism from hyper\v{c}ech cohomology, graded algebra structure, and a worked out example); submitted for publicatio

    Singularités des courbes planes, module des dérivations et schéma des arcs

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    To any algebraic variety one can associate several algebraic-geometric objets which in particular provide information on the singularities of the variety. This thesis deals with the interaction between the study of singularities, arc spaces and derivations module in the context of affine algebraic plane curves. Using a theorem of Alain Hénaut, we show that quasi-homogeneous incomplete d-webs are linearizable for d > 3. Finally, in the last chapter, this thesis intoduces the formalism of motivic zêta function of a local 1-form.A toute variété algébrique on peut associer différents objets algébrico-géométriques qui rendent compte en particulier des singularités de la variété. Cette thèse traite de l'interaction entre l'étude des singularités, le schéma des arcs et le module des dérivations dans le cadre des courbes algébriques affines planes. Elle démontre que les d-tissus quasi-homogènes incomplets sont linéarisables pour d > 3 en utilisant un théorème d'Alain Hénaut. Enfin, dans un dernier chapitre, cette thèse introduit le formalisme des fonctions zêta motiviques associées à une 1-forme locale
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