416 research outputs found

    Programma di Teoria dei Numeri 1

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    On some differences between number fields and function fields

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    The analogy between the arithmetic of varieties over number fields and the arithmetic of varieties over function fields is a leading theme in arithmetic geometry. This analogy is very powerful but there are some gaps. In this note we will show how the presence of isotrivial varieties over function fields (the analogous of which do not seems to exist over number fields) breaks this analogy. Some counterexamples to a statement similar to Northcott Theorem are proposed. In positive characteristic, some explicit counterexamples to statements similar to Lang and Vojta conjectures are given.Comment: To appear in the "Atti del Terzo Incontro Italiano di Teoria dei Numeri - Pisa - Settembre 2015". Comments are welcom

    Euler Systems and Iwasawa theory: a proof of the main conjecture

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    L'obiettivo di questo elaborato è quello di enunciare e dimostrare uno dei risultati principali riguardanti la teoria dei campi ciclotomici: la congettura principale della teoria di Iwasawa. La dimostrazione riportata, dovuta a Rubin, si basa sui sistemi di Eulero, strumenti fondamentali in teoria dei numeri, la cui importanza è dovuta ad una stretta connessione con i gruppi di Selmer

    Bruno Rizzi and Number Theory

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    Franco Eugeni remembers Bruno Rizzi: in this brief introduction, I would like to remember an afternoon spent in “Roma Tre” with Bruno, since we were both Ordinary Professors at that University. We passed it doing a dense program of work for the next three years. At 6.00 pm, I left for “Roseto degli Abruzzi”. At six o'clock a.m. of the next morning, I still have the voice in my ears. A phone call from the Headmaster Ciro d'Aniello, who told me "The Professor is dead" In that afternoon, Emilio Ambrisi and I went to Rome; we were stunned and desperate. Not many days later, a conference was held at the University of Teramo; it was the conference that we had prepared for Bruno, to celebrate his 60th birthday, but it was his memory. In the opening conference, Prof. Antonino Giambo, also fraternal friend of Bruno, burst into a tearful cry, which expressed in a moment, the senses of friendship and love that we all had for the missing friend! Starting from this work with Fabrizio Maturo, the study of some problems left open by the works of Eugeni and Rizzi will be investigated.SuntoRicordo di Franco Eugeni su Bruno Rizzi: in questa brevissima introduzione vorrei ricordare un pomeriggio passato a Roma Tre con Bruno, visto che allora eravamo entrambi Professori Ordinari in quella Università. Lo passammo a fare un denso programma di lavoro per i successivi tre anni. Alle 18.00 ripartii per Roseto degli Abruzzi. Alle sei del mattino successivo, ho ancora la voce nelle orecchie, una telefonata del Preside Ciro d’Aniello, che mi diceva “Il Professore è morto” Nel pomeriggio Emilio Ambrisi ed io ci recammo a Roma, eravamo attoniti e disperati. Non molti giorni dopo si tenne presso l’Università di Teramo un Convegno, era il Convegno che avevamo preparato per Bruno, per festeggiare i suoi 60 anni, fu invece il ricordo. Nella conferenza di apertura il prof. Antonino Giambò, anche lui, come noi, fraterno amico di Bruno, scoppiò in un pianto dirotto, che espresse in un attimo, i sensi dell’amicizia e dell’amore, che tutti noi avevamo per l’amico scomparso! A partire da questo lavoro con Fabrizio Maturo verrà approfondito lo studio di alcune problematiche rimaste aperte dai lavori di Eugeni e Rizzi

    Batti il tamburo e non avere paura.

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    Batti il tamburo e non aver paura è un verso di una poesia di Heinrich Heine, il maggiore poeta romantico tedesco (ebreo, contrario al pangermanesimo, morto esule a Parigi) che invita tutti al coraggio ed allo impegno, delineando un excursus tra parole chiave della filosofia della scienza e della matematica (in particolare, in Kant, Husserl e Hilbert), per ricavare i moniti alla Geomatica. Infatti questa è costituita da un insieme di discipline scientifiche e tecnologiche che possono offrire benefici al mondo ed alla società, ma causare danni gravi ed è compito dei ricercatori, tecnici, studenti ed operatori fare che scienza e tecnologia siano adoperate ai fini di pace, sviluppo e progresso, e non di guerra, abuso e dominio. Per quanto riguarda i tre studiosi, Kant è preso in considerazione, come geografo (storico e studioso della politica) e come filosofo della scienza e della morale (nelle prime due sue sintesi critiche, seppure della seconda solo brevemente). Husserl e Hilbert (nello ordine un filosofo di formazione matematica ed un matematico, attento a problemi di logica) sono presi in considerazione nelle loro ultime opere, rispettivamente sulla crisi delle scienze europee e sui fondamenti della matematica. Infatti questi due studiosi possono entrambi rappresentare insieme uno dei punti di arrivo delle possibili riletture kantiane e il segnavia per una ripartenza verso nuovi pensieri (rispettivamente la filosofia analitica della conoscenza ed il convenzionalismo critico della matematica)

    Applications of some exponential sums on prime powers: a survey

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    A survey paper on some recent results on additive problems with prime powers

    Ideali nell'anello degli interi algebrici

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    L'obiettivo principale della Teoria dei Numeri è quello di studiare l'anello degli interi in relazione al campo dei razionali, una struttura ricca di proprietà e di risultati ben noti. Il nostro scopo è quello di definire un anello più generale da sostituire agli interi quando al posto dei razionali viene considerata una loro generica estensione algebrica K: tale anello, denotato con OK, prende il nome di anello degli interi algebrici. Gli strumenti che utilizzeremo sono quelli propri dell'Algebra Commutativa [1] e della Teoria dei Numeri Algebrica [2]. Fondamentale sarà, ad esempio, la descrizione della struttura dei domini di Dedekind (di cui Z e OK sono appunto esempi prìncipi): essi hanno la proprietà di essere noetheriani, integralmente chiusi e tali che ogni ideale primo non nullo sia anche massimale. Uno dei principali risultati sarà poi la generalizzazione del teorema fondamentale dell'aritmetica; poiché vedremo che in generale OK non è a fattorizzazione unica, introdurremo un sistema di operazioni sugli ideali di un anello e otterremo un teorema di fattorizzazione unica in ideali primi. Infine, lo studio della famiglia degli ideali di OK porterà all'introduzione della nozione di gruppo delle classi di ideali, la cui struttura ci consentirà di descrivere proprietà fondamentali di tale anello, tra cui l'essere o meno un dominio a ideali principali
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