El problema de Riemann-Hilbert

El llamado problema de Riemann-Hilbert, o problema 21 de Hilbert, pertenece a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias sobre el campo complejo. Concretamente pregunta si existe un sistema de ecuaciones fuchsianas con singularidades y monodromía prescritas. Dicho problema se consideraba resuelto por Plemelj en 1908, pero en 1989, A. Bolibruch encontró un contraejemplo, y por tanto, un error en la solución. Básicamente el error está en confundir singularidades regulares con fuchsianas. En este trabajo se pretende estudiar el contraejemplo de Bolibruch, haciendo previamente un estudio de los sistemas fuchsianos, sus soluciones y su monodromía para poder plantear el contraejemplo. La referencia principal será el libro de Anosov y Bolibruch "The Riemann Hilbert Problem" (Vieweg, 1994).Departamento de Algebra, Geometría y TopologíaMáster en Matemática

Aproximaciones simultáneas e irracionalidad de los valores de la función zeta de Riemann

El problema de Riemman-Hilbert constituye una importante herramienta dentro de la teoría de funciones analíticas, poseyendo una fuerte conexión con problemas de aplicación física como la elasticidad y la hidrodinámica. Básicamente, esta teoría tiene como objetivo central encontrar una función que sea analítica en una determinada región, teniendo en cuenta ciertas relaciones de salto entre sus valores límites sobre los puntos de un contorno dado. Tal problema fue mencionado por Riemann en su célebre disertación, mas fue estudiado primeramente por Hilbert, de ahí la terminología, problema de Riemann-Hilbert. Los problemas de frontera o de Riemann-Hilbert para funciones analíticas han resultado ser una herramienta fundamental en la teoría de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales, estando en la base de técnicas tan fundamentales como el scattering inverso y otros. A partir de los trabajos de Fokas, Its y Kitaev en los años 90, estos métodos han empezado a jugar un papel preponderante en la teoría de polinomios ortogonales. A continuación se dará un breve resumen de algunas técnicas del problema de Riemann-Hilbert y del papel de puente que las mismas juegan entre la teoría moderna de funciones especiales, polinomios ortogonales y teoría analítica de números

Desde el Problema de Basilea al Teorema de Apéry

Se realizará un estudio desde el punto de vista histórico del Problema de Basilea. Esto es, el problema de las sumas de las series de recíprocos introducido por L. Euler en 1735 que, a su vez, respondía al problema planteado con anterioridad por Bernouilli sobre el valor de la suma de la serie de los inversos de los cuadrados de los números naturales. Conseguiremos los valores obtenidos por Euler para las potencias pares, esto es, los valores de la función zeta de Riemann sobre los enteros positivos pares, usando técnicas modernas basadas en el análisis de la variable compleja. Asimismo analizaremos la dificultad de la obtención del valor la función zeta de Riemann sobre los enteros positivos impares mayores que 2. Sobre esta cuestión tan sólo conocemos que para 3, el valor de la función zeta de Riemann es irracional. Este último resultado, obtenido por Apery en 1979, será asimismo objeto de nuestro estudio. La cuestión permanece abierta para los impares mayores que 3

Riemann y los Números Primos

En el mes de noviembre de 1859, durante la presentación mensual de losinformes de la Academia de Berlín, el alemán Bernhard Riemann presentóun trabajo que cambiaría los designios futuros de la ciencia matemática. El tema central de su informe se centraba en los números primos, presentando el que hoy día, una vez demostrada la Conjetura de Poincaré, puede ser considerado el problema matemático abierto más importante. El presente artículo muestra en su tercera sección una traducción al castellano de dicho trabajo

The Nyman-Beurling approach to the Riemann hypothesis

Orientador: Sahibzada Waleed NoorDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: A hipótese de Riemann é considerada o mais importante problema aberto da matemática pura, o qual afirma que os zeros não triviais da função zeta de Riemann estão localizados sobre a ''linha crítica''. Esse problema tem sido estudado por aproximadamente um século e meio, mas ainda não se tem nenhuma prova para ela. O objetivo principal desta dissertação é apresentar reformulações em alguns espaços de Hilbert desta conjectura, principalmente o Teorema de Nyman-Beurling e seu respectivo refinamento feito por Baez-Duarte. Também serão apresentadas algumas outras equivalências recentes da hipótese de RiemannAbstract: The Riemann hypothesis is considered the most important open problem of pure mathematics, which states that the non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the ''critical line''. This problem has been studied for about a century and a half, but there is still no proof for it. The main purpose of this thesis is to present some Hilbert space reformulations of this conjecture, mainly the Nyman-Beurling Theorem and its respective refinement by Baez-Duarte. Some other recent equivalences of the Riemann hypothesis will also be presentedMestradoMatematicaMestre em MatemáticaCAPE

Teorema fundamental del cálculo para la integral de Riemann-Stieltjes

"La integral de Riemann-Stieltjes fue introducida por primera vez en 1894 por el matemático holandés Thomas J. Stieltjes (1856-1894). Surge por el estudio de las fracciones continuas y el problema de los momentos (veáse [14]). Esta integral es una generalización de la integral de Riemann y tomó más interés cuando el matemático F. Riesz (1880,1956) la utilizó para representar un funcional lineal continuo en el espacio de las funciones continuas en un Intervalo [a; b]: Un Teorema Fundamental del cálculo para la Integral de Riemann. Algunos matemáticos han trabajado con generalizaciones del concepto de derivada usual para resolver diversos problemas, más precisamente se habla de la derivada de una función f con respecto a otra función estrictamente creciente u: Por ejemplo, Feller en [5] y [6] trata problemas relacionados con operadores diferenciales, algunos de los cuales sirven para resolver un problema de la Teoría de Difusión y mostrar que tales operadores son también útiles para problemas clásicos.

Simulação da injeção de bancos de agua com polimeros na recuperação de petroleo

Orientador: Maria Cristina de Castro CunhaTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica Estatistica e Computação CientificaResumo: Neste trabalho abordamos o problema da injeção de bancos de água com polímeros na recuperação de petróleo. O modelo matemático consiste num sistema de leis de conservação com condições iniciais e de fronteira apropriadas. Utilizamos as soluções do problema de Riemann ( [ISA] e [JOH] ) associado a este sistema para propor um algoritmo que calcula os perfis de saturação de água s(x,t). As condições de contorno são ditadas pelo tamanho dos bancos de água (ou água com polímero) e a concentração de polímero usada no poço de injeção. As dificuldades encontradas se devem ao tratamento das descontinuidades que surgem devido as interações entre rarefações e choques que se formam devido a solução do problema de Riemann e as descontinuidades nas condições de contorno.Um programa computacional foi elaborado para calcular as interações entre os choques, a solução do problema de Riemann e a solução do problema da injeção de bancos. Foram considerados os casos com e sem adsorção do polímero pelo meio poroso. Simulamos a recuperação de óleo em alguns casos onde variamos o tamanho dos bancos, a concentração de polímero além das condições iniciais nos reservatórios. Fizemos comparações entre o algoritmo proposto e um esquema numérico do tipo upwindAbstract: In this presentation we work on the problem of the injection of water banks with polymers in enhanced oil recovery. The mathematical model consists of a system of conservation laws with appropriate initial conditions and of boundaries. We have used the solutions of the Riemann problem ( [ISA] and [JOH] ) associated to this system to propose an algorithm which calculates the profiles of saturation of water s(x.t). The outlining conditions are given through the size of the water banks ( or water whit polymers ) and the polymer concentration used in the injector well. The difficulties found are due to the treatment of the discontinuities that appear due to the interaction among rarefaction and shocks that are formed because of the solution of the Riemann problem and the discontinuities in the outlining conditions. We have made program computer which calculates the interaction among the shocks, the solution of the Riemann problem and the solution of the banks injection problem. Cases with or without polymer adsorption by the porous environment have been considered. Some cases of recuperation of oil have been simulated whereas the size of the banks and polymer was varied, as well as the initial conditions of the reservoir. The proposed algorithm and numerical scheme have been comparedDoutoradoDoutor em Matemática Aplicad

O Santo Graal da matemática: a hipótese de Riemann

This study presents a report about the Riemann Hypothesis, leaving the underlying concepts behind this problem more accessible to a high school teacher. The literature review was based mainly on History of Mathematics texts. This research aims to study significant topics of mathematical research throughout this century, particularly to popularize the Riemann Hypothesis.CAPESEste trabalho traz um relato a respeito da Hipótese de Riemann, com o objetivo de tornar os conceitos referentes a esse problema acessíveis ao professor da educação básica, que pretenda abordá-los em sala de aula quando tratar de conteúdos a ele relacionados. A pesquisa foi inteira bibliográfica, apoiada em sua grande parte em textos de História da Matemática, tornando este trabalho divulgador dos problemas que ocupam parte das pesquisas matemáticas deste século, em especial da Hipótese de Riemann

Green's Function in Some Contributions of 19th Century Mathematicians

AbstractMany questions in mathematical physics lead to a solution in terms of a harmonic function in a closed region with given continuous boundary values. This problem is known as Dirichlet's problem, whose solution is based on an existence principle—the so-called Dirichlet's principle. However, in the second half of the 19th century many mathematicians doubted the validity of Dirichlet's principle. They used direct methods in order to overcome the difficulties arising from this principle and also to find an explicit solution of the Dirichlet problem at issue. Many years before, one of these methods had been developed by Green in 1828, which consists in finding a function—called a Green's function—satisfying certain conditions and appearing in the analytical expression of the solution of the given Dirichlet problem. Helmholtz, Riemann, Lipschitz, Carl and Franz Neumann, and Betti deduced functions similar to Green's function in order to solve problems in acoustics, electrodynamics, magnetism, theory of heat, and elasticity. Copyright 2001 Academic Press.Molte questioni fisico matematiche conducono a una soluzione in termini di una funzione armonica in una regione chiusa con dati valori continui al contorno. Questo problema è noto come problema di Dirichlet, la cui soluzione si basa su un principio di esistenza, il cosiddetto principio di Dirichlet. Tuttavia, nella seconda metà del diciannovesimo secolo, molti matematici cominciarono a mettere in dubbio la validità del principio di Dirichlet. Sia per superare le difficoltà sorte da tale principio, sia per trovare una soluzione esplicita del problema di Dirichlet dato, essi presero ad adoperare metodi diretti. Molti anni prima, uno di questi metodi era stato sviluppato da Green nel 1828 e consiste nel trovare una funzione, detta funzione di Green, che soddisfa certe condizioni e mediante la quale si rappresenta analiticamente la soluzione del problema di Dirichlet in questione. Helmholtz, Riemann, Lipschitz, Carl e Franz Neumann, e Betti dedussero delle funzioni simili alla funzione di Green allo scopo di risolvere problemi di acustica, elettrodinamica, magnetismo, teoria del calore ed elasticità. Copyright 2001 Academic Press.Nombreuses questions de physique mathématique mènent à une solution en termes d'une fonction harmonique dans une région fermée avec des valeurs continus donnés sur la frontière. Ce problème est connu comme problème de Dirichlet, la solution duquel est fondée sur un principe d'existence, le principe de Dirichlet. Cependant dans la seconde moitié du dix-neuvième siècle plusieurs mathématiciens mirent en doute la validité du principe de Dirichlet. Alors ils employèrent des méthodes directes soit pour surmonter le difficultés nées de ce principe, soit pour déduire une solution explicite du problème de Dirichlet en question. Avant plusieurs annèes une de ces méthodes a été développée par Green en 1828 et consiste à trouver une fonction, dite fonction de Green, qui satisfait certaines conditions et moyennant laquelle on représente analytiquement la solution du problème de Dirichlet donné. Helmholtz, Riemann, Lipschitz, Carl et Franz Neumann, et Betti déduisirent des fonctions semblables à la fonction de Green pour résoudre de problèmes d'acoustique, électrodynamique, magnétisme, théorie de la chaleur et élasticité. Copyright 2001 Academic Press.MSC 1991 subject classifications: 01A55, 31-03