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    Représentations pp-adiques potentiellement cristallines

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    Représentations p-adiques cristallines du groupe de Galois d’un corps local

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    Let p be a nonzero prime and K a discrete-valued complete field of characteristic 0, whose residual field is of characteristic p. Let K̂ be an algebraic closure of K and let Gk be the Galois group of K̂/K.J-M Fontaine has constructed an absolutely unbranched, Frobenius and action-profinite Γ body Ɛ, complete for a discrete valuation, whose residual body is identified with the norm body of a cyclotomic extension of K contained in K̂, and established an equivalence between the category of p-adic representations of G and a certain category of (Φ,Γ)-modules on Ɛ, i.e. Ɛ-vector spaces equipped with a Frobenius semi-linear endomorphism φ on Ɛ and a semi-linear Γ-action on Ɛ. A similar equivalence exists between the category of torsion representations of Gk and a certain category of (Φ,Γ)-modules on the ring of Ɛ-integers.In this work, we are interested in representations of Gk that are crystalline or potentially crystalline; the aim is to describe them using the previous equivalence in terms of (Φ,Γ)-modules. First, we state a sufficient condition, which holds on the (Φ,Γ)-module, for a p-adic representation to be potentially crystalline. In a second step, we study torsion representations and state a result that allows us to see that the previous condition is necessary in a particular case.Soient p un nombre premier non nul et K un corps de caractéristique 0, complet pour une valuation discrète, dont le corps résiduel est de caractéristique p. On se fixe K̂ une clôture algébrique de K et on note Gk le groupe de Galois de K̂/K.J-M Fontaine a construit un corps Ɛ, complet pour une valuation discrète, absolument non ramifié, muni d'un Frobenius et d'une action d'un groupe profini Γ, dont le corps résiduel s'identifie au corps de normes d'une extension cyclotomique de K contenue dans K̂, et établi une équivalence entre la catégorie des représentations p-adiques de G et une certaine catégorie de (Φ,Γ)-modules sur Ɛ, c'est-à-dire de Ɛ-espaces vectoriels munis d'un endomorphisme φ semi-linéaire par rapport au Frobenius sur Ɛ et d'une action de Γ semi-linéaire par rapport à l'action de Γ sur Ɛ. Une équivalence similaire existe entre la catégorie des représentations de Gk de torsion et une certaine catégorie de (Φ,Γ)-modules sur l'anneau des entiers de Ɛ.Dans ce travail, on s'intéresse aux représentations de Gk qui sont cristallines ou potentiellement cristallines ; il s'agit de les décrire à l'aide de l'équivalence précédente en termes de (Φ,Γ)-modules. Dans un premier temps, on énonce une condition suffisante, qui se vérifie sur le (Φ,Γ)-module, pour qu'une représentation p-adique soit potentiellement cristalline. Dans un deuxième temps, on étudie les représentations de torsion et on énonce un résultat qui permet de voir que la condition précédente est nécessaire dans un cas particulier

    Interprétation cristalline de l'isomorphisme de Deligne-Illusie

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    Abstract : let k be a finite field of characteristic p>0, W(k) the ring of Witt vectors of k, X a smooth scheme over \spec W(k) and X_0 the special fiber of X.In 1987, Deligne and Illusie proved the degeneration of the spectralsequence ``de Hodge vers de Rham'' in a purely algebraic way, by constructing aquasi-isomorphism at the level of derived categories between the de Rham complex of X_0 with a complex with 0 differentials. Simultaneously Fontaine and Messingconstructed a divided Frobenius map on the crystalline complexes associated with X_0. We show that bothmorphisms of derived categories are compatible mod p>0 if the dimension of X_0 is <p-1.We use this compatibility to compute the filtered phi-module mod\,p associated to the Drinfeld Curve.Resume: Soit k un corps fini de caractéristique p>0, W(k) l'anneau des vecteurs de Witt de k, X un schéma lisse sur spec W(k), X_0 la fibre spéciale de X. En 1987, Deligne et Illusie ont démontré la dégénérescence de la suitespectrale de Hodge vers de Rham d'une façon purement algébrique, en construisantun quasi-isomorphisme dans la catégorie dérivée entre le complexe de de Rham de X_0 et un complexe à différentielles nulles. Concomitamment, Fontaine et Messing ont construit un Frobenius divisé sur les complexes cristallinsassociés à X_0. Nous montrons que ces deux morphismes de catégories dérivées sont compatibles. Comme application de cette compatibilité, nous donnons la structure du phi-module filtré mod p associé à la courbe de Drinfeld
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