Simulations of some Doubly Stochastic Poisson Point Processes

International audienceComputer simulations of point processes are important either to verify the results of certain theoretical calculations that can be very awkward at times, or to obtain practical results when these calculations become almost impossible. One of the most common methods for the simulation of nonstationary Poisson processes is random thinning. Its extension when the intensity becomes random (doubly stochastic Poisson processes) depends on the structure of this intensity. If the random density takes only discrete values, which is a common situation in many physical problems where quantum mechanics introduces discrete states, it is shown that the thinning method can be applied without error. We study in particular the case of binary density and we present the kind of theoretical calculations that then become possible. The results of various experiments realized with data obtained by simulation show fairly good agreement with the theoretical calculations

Singular ARMA signals

Singular random signals are characterized by the fact that their values at each time are singular random variables, which means that their distribution functions are continuous but with a derivative almost everywhere equal to zero. Such random variables are usually considered as without interest in engineering or signal processing problems. The purpose of this paper is to show that very simple signals can be singular. This is especially the case for autoregressive moving average (ARMA) signals defined by white noise taking only discrete values and filters with poles located in a circle of singularity introduced in this paper. After giving the origin of singularity and analyzing its relationships with fractal properties, various simulations highlighting this structure will be presented

Algorithms for Point Processes Analysis

16 pagesInternational audienceA time point process can be defined either by the statistical properties of the time intervals between successive points or by those of the number of points in arbitrary time intervals. There are mathematical expressions to link up these two points of view, but they are in many cases too complicated to be used in practice. In this article, we present an algorithmic procedure to obtain the number of points of a stationary point process recorded in some time intervals by processing the values of the distances between successive points. We present some results concerning the statistical analysis of these numbers of points and when analytical calculations are possible the experimental results obtained with our algorithms are in excellent agreement with those predicted by the theory. Some properties of point processes in which theoretical calculations are almost impossible are also presented

Some properties of point processes in statistical optics

International audienceThe analysis of the statistical properties of the point process (PP) of photon detection times can be used to determine whether or not an optical field is classical, in the sense that its statistical description does not require the methods of quantum optics. This determination is, however, more difficult than ordinarily admitted and the first aim of this paper is to illustrate this point by using some results of the PP theory. For example, it is well known that the analysis of the photodetection of classical fields exhibits the so-called bunching effect. But this property alone cannot be used to decide the nature of a given optical field. Indeed, we have presented examples of point processes for which a bunching effect appears and yet they cannot be obtained from a classical field. These examples are illustrated by computer simulations. Similarly, it is often admitted that for fields with very low light intensity the bunching or antibunching can be described by using the statistical properties of the distance between successive events of the point process, which simplifies the experimental procedure. We have shown that, while this property is valid for classical PPs, it has no reason to be true for nonclassical PPs, and we have presented some examples of this situation also illustrated by computer simulations

Signaux ordonnés et trispectre

Les signaux ordonnés sont des signaux pour lesquels l'expression explicite des moments d'ordre quatre nécessite que les instants soient placés dans un ordre croissant. L'exemple le plus connu est celui du basculeur poissonnien et beaucoup d'autres sont présentés. Le calcul du trispectre est difficile à cause de l'ordonnancement des instants et on présente la procédure permettant d'obtenir des expressions explicites. Elles montrent que de nombreux signaux ordonnés ont une densité normale sur les multiplicités normales et la contribution nonnormale est analysée, ce qui permet d'introduire une discussion sur les relations avec le théorème de la limite centrale, la réversibilité et l'ergodisme

Propriétés du second ordre de l'effet de grenaille

- L'action sur un filtre linéaire de chocs aléatoires apparaissant à des instants aléatoires engendre un signal dénommé effet de grenaille. Le spectre d'entrée de ce filtre a été analysé par de nombreux auteurs et le but de cet exposé est d'abord de montrer que les calculs connus se simplifient beaucoup si l'on utilise une fonction dite de coïncidence. Il consiste ensuite à présenter des calculs explicites avec représentations graphiques de certaines densités spectrales permettant mieux qu'une formule mathématique d'en comprendre les propriétés physiques

Input dead time in point processes

Dead time effects appear in any measurements on a point process. Input dead time is characterized by the fact that any point of the observed process introduces an interval that can be random such that any point appearing in this interval is deleted. This yields a new point process which is analyzed. The theoretical calculations of its properties are in general almost impossible, which justifies an experimental approach. An experimental setup generating input dead time and analyzing the properties of the process after this dead time is presented. In the rare cases where calculations are possible the experimental results are in excellent agreement with the theory. This method is used for the analysis of various point processes. It is especially the case of point process in which the life time has an exponential or an uniform distribution.Toute mesure sur un processus ponctuel introduit un temps mort. Celui d'entrée est caractérisé par le fait que tout point du processus observé engendre un intervalle qui peut être aléatoire et tel que tout point postérieur tombant dans cet intervalle est éliminé. Par cette élimination on obtient un nouveau processus ponctuel qui est étudié. Les calculs théoriques étant en général inextricables une approche expérimentale est présentée. Un algorithme récursif permettant d'associer à tout processus ponctuel celui qui s'en déduit par temps mort d'entrée est proposé et diverses propriétés de ce processus sont analysées. Dans les quelques cas où les calculs sont possibles les résultats expérimentaux sont en plein accord avec la théorie. Le dispositif est alors utilisé pour l'analyse de l'effet de temps mort dans divers processus. On étudie en particulier ceux dont le temps de vie a une distribution exponentielle, qu'ils soient de renouvellement (Poisson) ou non, et aussi ceux où cette distribution est uniforme

Polyspectres de signaux markoviens

Les signaux markoviens jouent un grand rôle en traitement du signal pour des raisons à la fois physiques et mathématiques. Lorsque ces signaux sont obtenus à partir d'une récurrence non linéaire le calcul des moments d'ordre supérieur à deux nécessite que les instants soient pris dans un ordre croissant. Des exemples de cette propriété sont présentés et l'on examine sa conséquence pour le calcul des polyspectres. On étudie tout particulièrement la valeur de la densité sur les multiplicités normales qui permet de faire le lien entre spectres des moments et des cumulants

Intervalles de temps et comptages dans les processus ponctuels

La relation entre la loi de probabilité des intervalles et celle des comptages dans les processus ponctuels est connue dans le cas stationnaire mais son extension au cas non-stationnaire conduit à des calculs erronés dus au fait de ne pas avoir considéré les distances entre points comme des variables aléatoires conditionnelles. Partant de cette remarque, le calcul complet et exact est présenté aussi bien pour le temps de survie que pour celui de vie. Ce calcul qui retrouve évidemment les résultats connus du cas stationnaire est appliqué à divers cas particuliers en particulier ceux des processus de Poisson stricts ou composés

Approximation non-linéaire de signaux déterministes

- L'approximation linéaire des signaux est d'usage courant et le meilleur exemple est celui des développements de Fourier. Toutefois la meilleure approximation d'un signal en fonction d'autres signaux n'a aucune raison d'être linéaire. Utilisant le critère de l'erreur quadratique on pose le problème et on en donne la solution générale. L'examen de quelques exemples permet d'évaluer l'avantage de la méthode par rapport à celle linéaire. Ces résultats sont appliqués dans le cas de signaux complexes et l'on retrouve dans le contexte déterministe les concepts de circularité introduits pour les variables aléatoires complexes