Optimalidad en la conjetura débil de Muckenhoupt-Wheeden

En el año 2009 conjuntamente con A. Lerner y C. P\'erez probamos que la dependencia en relación a la constante [w]_A_1 de un peso $w$ en el tipo débil (1,1) de la cualquier operador de Calderón-Zygmund se puede controlar por [w]_A_1 x log([w]_A_1+e). Que la dependencia fuese lineal se conocía como conjetura débil de Muckenhoupt y Wheeden. Posteriormente, F. Nazarov, A. Reznikov, V. Vasyunin y A. Volberg probaron que no es posible dependencia lineal en general, de hecho probaron que la dependencia debía ser al menos [w]_A_1 x log^{1/3}([w]_A_1+e) para la Transformada Martingala y conjeturaron que nuestra estimación debería ser óptima. Finalmente en un trabajo reciente conjuntamente con A. Lerner y F. Nazarov probamos la optimalidad de la estimación por [w]_A_1 x log([w]_A_1+e) para la Transformada de Hilbert. En esta charla daremos una idea general de como obtener este resultado.Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech

Quantitative weighted mixed weak-type inequalities for classical operators

We improve on several mixed weak-type inequalities both for the Hardy-Littlewood maximal function and for Calderón-Zygmund operators. These types of inequalities were considered by Muckenhoupt and Wheeden and later on by Sawyer estimating the L1,∞(uv) norm of v −1T (f v) for special cases. The emphasis is made in proving new and more precise quantitative estimates involving the Ap or A∞ constants of the weights involved.Ministerio de Economía y CompetitividadUniversidad Nacional del SurConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (Argentina

Weak type estimates for singular integrals related to a dual problem of Muckenhoupt-Wheeden

A well known open problem of Muckenhoupt-Wheeden says that any Calderón-Zygmund singular integral operator T is of weak type (1, 1) with respect to a couple of weights (w, Mw). In this paper we consider a somewhat “dual” problem: sup λ>0 λw x ∈ R n : |T f(x)| Mw > λ ≤ c Z Rn |f| dx. We prove a weaker version of this inequality with M3w instead of Mw. Also we study a related question about the behavior of the constant in terms of the A1 characteristic of w.Ministerio de Educación y Cienci

A1 bounds for Calderón-Zygmund operators related to a problem of Muckenhoupt and Wheeden

We obtain an Lp(w) bound for Calderón-Zygmund operators T when w ∈ A1. This bound is sharp both with respect to ∥w∥A1 and with respect to p. As a result, we get a new L1,∞(w) estimate for T related to a problem of Muckenhoupt and Wheeden.Ministerio de Educación y Cienci

On the A∞ [infinity symbol] conditions for general bases

We discuss several characterizations of the A∞ class of weights in the setting of general bases. Although they are equivalent for the usual Muckenhoupt weights, we show that they can give rise to different classes of weights for other bases. We also obtain new characterizations for the usual A∞ weights.Fil: Duoandikoextea, Javier . Universidad del Pais Vasco; EspañaFil: Martín Reyes, Francisco J.. Universidad de Malaga; EspañaFil: Ombrosi, Sheldy Javier. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Bahía Blanca. Instituto de Matemática Bahía Blanca (i); Argentina. Universidad Nacional del Sur; Argentin