A DIFFERENTIABLE STRUCTURE ON A FINITE DIMENSIONAL REAL VECTOR SPACE AS A MANIFOLD

There are three conditions for a topological space to be said a topological manifold of dimension  : Hausdorff space, second-countable, and the existence of homeomorphism of a neighborhood of each point to an open subset of  or -dimensional locally Euclidean. The differentiable structure is given if the intersection of two charts is an empty chart or its transition map is differentiable. In this article, we study a differentiable manifold on finite dimensional real vector spaces.  The aim is to prove that any finite-dimensional vector space is a differentiable manifold. First of all, it is proved that a finite dimensional vector space is a topological manifold by constructing a norm as its topology. Given a metric which is induced by a norm. Two norms on a finite dimensional vector space are always equivalent and they are determine the same topology.  Secondly, it is proved that the transition map in the finite dimensional vector space is differentiable. As conclusion, we have that any finite dimensional vector space with independent norm topology choice is a differentiable manifold.  As a matter of discussion, it can be studied that the vector space of all linear operators of a finite dimensional vector space has a differentiable manifold structure as well

Eksistensi Aljabar Lie Frobenius sebagai Jumlah Langsung dari Aljabar Lie Filiform Berdimensi sampai dengan 6 dengan Split Torusnya

Misalkan  aljabar Lie filiform hingga berdimensi sampai dengan . Dalam artikel ini, dibangun  suatu split torus  ( jika ada ) yang merupakan aljabar bagian komutatif dari turunan   sedemikian sehingga aljabar Lie  yang merupakan jumlah langsung dari   dan  adalah aljabar Lie Frobenius. Lebih jauh, dalam artikel ini dibuktikan bahwa untuk aljabar Lie filiform standar  yang berdimensi 5 dan 6  yang diberikan tidak terdapat split torus  sedemikian sehingga   aljabar Lie Frobenius. Sementara itu, untuk aljabar Lie filiform non-standar berdimensi 5  yang diberikan maka terdapat split torus  sedemikian sehingga    adalah aljabar Lie Frobenius berdimensi 6.Misalkan  aljabar Lie Filiform hingga berdimensi sampai dengan . Dalam artikel ini, dibangun  suatu split torus  (jika ada) yang merupakan aljabar bagian komutatif dari turunan   sedemikian sehingga aljabar Lie  yang merupakan jumlah langsung dari   dan  adalah aljabar Lie Frobenius. Lebih jauh, dalam artikel ini dibuktikan bahwa untuk aljabar Lie Filiform standar  yang berdimensi 5 dan 6  yang diberikan tidak terdapat split torus  sedemikian sehingga  aljabar Lie Frobenius. Sementara itu, untuk aljabar Lie Filiform non-standar berdimensi 5 yang diberikan maka terdapat split torus  sedemikian sehingga  adalah aljabar Lie Frobenius berdimensi 6

THE NON-DEGENERACY OF THE SKEW-SYMMETRIC BILINEAR FORM OF THE FINITE DIMENSIONAL REAL FROBENIUS LIE ALGEBRA

A Frobenius Lie algebra is recognized as the Lie algebra whose stabilizer at a Frobenius functional is trivial. This condition is equivalent to the existence of a skew-symmetric bilinear form which is non-degenerate.  On the other hand, the Lie algebra is Frobenius as well if its orbit on the dual vector space is open.  In this paper, we study the skew-symmetric bilinear form of finite dimensional Frobenius Lie algebra corresponding to its Frobenius functional. The work aims to prove that a Lie algebra of dimension  is Frobenius if and only if the -th derivation of the Frobenius functional is not equal to zero. Indeed, this condition implies that the skew-symmetric bilinear form is non-degenerate and vice versa.  In addition, some properties of Frobenius functionals are obtained. Furthermore, the computations are given using the coadjoint orbits and the structure matrix. As a discussion, we can investigate these results in the algebra case whether giving rise to a left-invariant K hler structure of a Frobenius Lie group or not

Lesson Study Pada Pembelajaran Matematika Berbasis Aplikasi

Dalam artikel ini, diberikan sebuah simulasi sederhana bagaimana memahami konsep matematika yang baik dan benar. Pertama, bagaimana cara memahami luas sebuah lingkaran dan yang ke dua bagaimana cara memahami penjumlahan hingga bilangan bulat. Dengan menggunakan metode lesson study, didesain sebuah metode untuk menarik  minat para siswa dalam memahami konsep matematika dan mendorong adanya kolaborasi antara para siswa dan guru. Setelah mempunyai pengetahuan yang baik dalam memahami konsep matematika, para siswa dibimbing untuk menyelesaikan soal-soal (problems solving) dari dua tema di atas dengan menggunakan aplikasi dalam ponsel pintar. Tujuannya adalah untuk melakukan berbagai pendekatan dalam  penyelesaian soal-soal dan kemudian mendiskusikannya untuk mendapatkan  jawaban terbaik.&nbsp

Ruang Fase Tereduksi Grup Lie Aff (1)

ABSTRAKDalam artikel ini dipelajari ruang fase tereduksi dari suatu grup Lie khususnya untuk grup Lie affine  berdimensi 2. Tujuannya adalah untuk mengidentifikasi ruang fase tereduksi dari  melalui orbit coadjoint buka di titik tertentu pada ruang dual  dari aljabar Lie . Aksi dari grup Lie    pada ruang dual  menggunakan representasi coadjoint. Hasil yang diperoleh adalah ruang Fase tereduksi  tiada lain adalah orbit coadjoint-nya yang buka di ruang dual . Selanjutnya, ditunjukkan pula bahwa grup Lie affine     tepat mempunyai dua buah orbit coadjoint buka.  Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini dapat diperluas untuk kasus grup Lie affine  berdimensi  dan untuk kasus grup Lie lainnya.ABSTRACTIn this paper, we study a reduced phase space for a Lie group, particularly for the 2-dimensional affine Lie group which is denoted by Aff (1). The work aims to identify the reduced phase space for Aff (1) by open coadjoint orbits at certain points in the dual space aff(1)* of the Lie algebra aff(1). The group action of Aff(1) on the dual space aff(1)* is considered using coadjoint representation. We obtained that the reduced phase space for the affine Lie group Aff(1) is nothing but its open coadjoint orbits. Furthermore, we show that the affine Lie group Aff (1) exactly has two open coadjoint orbits in aff(1)*. Our result can be generalized for the n(n+1) dimensional affine Lie group Aff(n) and for another Lie group

Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff(2,R)

In this research, we studied the affine Lie algebra aff(2,R). The aim of this research is to determine the 1-form in affine Lie algebra aff(2,R) which is associated with its symplectic structure so that affine Lie algebra aff(2,R) is a Frobenius Lie algebra. Realized the elements of the affine Lie algebra aff(2,R) in matrix form, then calculated the Lie brackets and formed the structure matrix of the affine Lie algebra aff(2,R). 1-form of the affine Lie algebra aff(2,R) is obtained from the determinant of the structure matrix of the affine Lie algebra aff(2,R). Furthermore, proved that the 2-form is symplectic and related to the 1-form. The result obtained is that the affine Lie algebra aff(2,R) has 1-form α=ε_12^*+ε_23^* on aff(2,R)^* which is related to its symplectic structure, β=ε_11^*∧ε_12^*+ε_12^*∧ε_22^*+ε_21^*∧ε_13^*+ε_22^*∧ε_23^* such that the affine Lie algebra aff(2,R) is a Frobenius Lie algebra. For further research, it can be developed into an affine Lie algebra with dimensions n(n+1)

Classification of types A and A_+ from low dimensional standard and non-standard filiform Lie Algebras

In this paper, we study low-dimensional Filiform Lie algebras. Specifically, three-dimensional standard Filiform Lie algebras and five-dimensional non-standard Filiform Lie algebras. The classification method was given in the following stage. For given a low-dimensional Filiform Lie algebra, we compute its second centre. We showed that three-dimensional Filiform Lie algebra-called Heisenberg Lie algebra-is type and + as well. On the other hand, for ≥3, the standard Filiform Lie algebras are type but not type +. In this case, we give a concrete example of case five-dimensional Heisenberg Lie algebra. Moreover, we proved that five-dimensional non-standard Filiform Lie algebra is type but not type +. It is still an open problem to classify types and + for the general case of non-standard Filiform Lie algebra of dimension ≥6

Duflo-Moore Operator for The Square-Integrable Representation of 2-Dimensional Affine Lie Group

In this paper, we study the quasi-regular and the irreducible unitary representation of affine Lie group  of dimension two. First, we prove a sharpening of Fuhr’s work of Fourier transform of quasi-regular representation of . The second, in such the representation of affine Lie group   is square-integrable then we compute its Duflo-Moore operator instead of using Fourier transform as in F hr’s work

Desain Kurikulum dan Konversi Hasil Kegiatan MBKM Program Studi Sarjana Matematika

Program Merdeka Belajar Kampus Merdeka (MBKM) adalah suatu program untuk meningkatkan kompetensi tambahan mahasiswa atau capaian pembelajaran lulusan di luar program studinya. Kegiatan MBKM yang dimaksud adalah delapan bentuk kegiatan pembelajaran yaitu magang, asistensi mengajar, pertukaran pelajar, studi independent, penelitian, kewirausahaan, proyek kemanusian, dan membangun desa atau Kuliah Kerja Nyata (KKN) tematik. Metode penelitian yang digunakan adalah metode penelitian kualitatif khususnya metode studi kasus phenomenological research. Tujuan penelitian ini adalah untuk mendesain bagaimana cara mengonversi hasil kegiatan MBKM tersebut terkait kedudukannya, khususnya dalam kurikulum program studi sarjana matematika. Metode konversi yang diperoleh dapat dipergunakan tidak hanya di Program Studi Matematika tetapi untuk program studi-program studi lainnya yang menjalankan program MBKM bagi mahasiswanya. Tahapan pelaksanaan MBKM sendiri terdiri dari tiga tahapan yaitu pertama pendaftaran baik di tingkat program studi, mitra di laman kampus merdeka, ke dua monitoring dan evaluasi pelaksanaan MBKM seperti logbook laporan dan laporan kegiatan, dan yang ke tiga penilaian berupa presentasi dan laporan akhir. Setiap tahapan dibuat rubrik penilaian sebagai bahan untuk konversi hasil akhir kegiatan MBKM. Hasil utama yang diperoleh dari penelitian ini berupa teknik baku dalam cara menilai dan mengonversi hasil MBKM. &nbsp

Quasi-Associative Algebras on the Frobenius Lie Algebra M_3 (R)⊕gl_3 (R)

In this paper, we study the quasi-associative algebra property for the real Frobenius  Lie algebra  of dimension 18. The work aims  to prove that  is a quasi-associative algebra and to compute its formulas explicitly. To achieve this aim, we apply the literature reviews method corresponding to Frobenius Lie algebras, Frobenius functionals, and the structures of quasi-associative algebras. In the first step, we choose a Frobenius functional determined by direct computations of a bracket matrix of  and in the second step, using an induced symplectic structure, we obtain the explicit formulas of quasi-associative algebras for . As the results, we proved that  has the quasi-associative algebras property, and we gave their formulas explicitly. For future research, the case of the quasi-associative algebras on   is still an open problem to be investigated. Our result can motivate to solve this problem.