Non-regular graphs with minimal total irregularity

The {\it total irregularity} of a simple undirected graph $G$ is defined as ${\rm irr}_t(G) =$ $\frac{1}{2}\sum_{u,v \in V(G)}$ $\left| d_G(u)-d_G(v) \right|$, where $d_G(u)$ denotes the degree of a vertex $u \in V(G)$. Obviously, ${\rm irr}_t(G)=0$ if and only if $G$ is regular. Here, we characterize the non-regular graphs with minimal total irregularity and thereby resolve the recent conjecture by Zhu, You and Yang~\cite{zyy-mtig-2014} about the lower bound on the minimal total irregularity of non-regular connected graphs. We show that the conjectured lower bound of $2n-4$ is attained only if non-regular connected graphs of even order are considered, while the sharp lower bound of $n-1$ is attained by graphs of odd order. We also characterize the non-regular graphs with the second and the third smallest total irregularity

The Total Irregularity of Graphs under Graph Operations

The total irregularity of a graph $G$ is defined as \irr_t(G)=1/2 \sum_{u,v \in V(G)} $|d_G(u)-d_G(v)|$, where $d_G(u)$ denotes the degree of a vertex $u \in V(G)$. In this paper we give (sharp) upper bounds on the total irregularity of graphs under several graph operations including join, lexicographic product, Cartesian product, strong product, direct product, corona product, disjunction and symmetric difference.Comment: 14 pages, 3 figures, Journal numbe

Влијанието на вакциналниот статус и бројот на дози на тежината на клиничката слика и смртноста од COVID-19

The COVID-19 pandemic, caused by the novel SARS-CoV-2 virus, started in December 2019 in the city Wuhan, province Hubei in the Republic of China. The disease quickly became pandemic and infected  48.539.872 people and had a mortality of 1.232.791 in 215 countries all over the world resulting in economic and healthcare collapse. On 11-th of March the World Health Organisation declared COVID 19 as pandemic. SARS-CoV-2 (severe form of acute respiratory syndrome coronavirus 2) as the cause of  COVID 19 is the member of the coronavirus family along with MERS-CoV and SARS-CoV-1which cause severe respiratory infections that are highly contagious and have very high mortality. The pandemic character, the high morbidity and mortality and rehabilitation resulted in a massive vaccine production as an attempt to control the spread of the SARS CoV-2 virus and reduce the morbidity and mortality, especially in the most vulnerable population groups. The aim of the study was to evaluate the association between vaccination status, number of doses and disease severity, length of hospital stay and mortality. Material and Methods: In this case-control study we included 230 male and female patients admitted in the Covid Centre in Acibadem Clinical Hospital in Skopje from March 2021 to February 2022. Patients were divided in two groups according to their vaccination status. Data about patients demographics, comorbidities, vaccination, number of doses received, type of oxygen and ventilation support, length of stay and patient outcome were collected. Results: A total of 230 COVID-19 positive hospitalized patients participated in the study. 50.4% of them were vaccinated, of which 86.2% received two doses, 11.2% received one and 2.6% received three doses of vaccines. A significant association was registered between lethal outcome and vaccination (PearsonChi-square: 5.32523, p=.0210),  association with number of doses of vaccination (PearsonChi-square: 7.66262, p=.043524), association with type of ventilation - NIV, HFO, IMV (PearsonChi-square: 177.399, df=3, p=0.000), associationwithcomorbidity (3.90770, p=.0480). Conclusion: Vaccination against Covid-19 and number of doses have a significant impact on disease severity, progression and outcome of the disease.COVID-19 како инфективно заболување за првпат се појави во декември 2019 година, а првите заразени беа во градот Вухан, област Хубеи во Н.Р.Кина. Болеста доби пандемиски карактер и за брзо доведе до 48.539.872 заразени луѓе и предизвика 1.232.791 смртни случаи во 215 земји во светот, доведувајќи до глобален здравствен и економски колапс на светското население. На 11 март 2020 година Светската здравствена организација прогласи COVID-19 пандемија. SARS-CoV-2 (тешка форма наакутен респираторен синдром коронавирус 2) како предизвикувач на COVID-19 претставува корона вирус кој што исто како и останатите два корона вируси MERS-CoV и SARS-CoV-1 се одговорни за предизвикување на акутни респираторни инфекции кои се многу контагиозни по природа и доведуваат до висок морталитет. Пандемискиот карактер на болеста, високиот морбидитет, морталитет и долгата рехабилитација доведоа до масовно производство на вакцини со цел превенирање и спречување на инфекција со SARS-CoV-2 вирусот,намалување на морбидитетот и морталитетот, особено кај ранливата популација со имунокомпромитираност и имунодефицит. Целта на оваа студија беше да се испита поврзаноста помеѓу вакциналниот статус и бројот на примени дози против COVID-19 и тежината на болеста, должината на болничкиот престој и смртноста. Материјали и методи: Во оваа студија беа вклучени 230  пациенти од машки и женски пол, кои беа третирани во Covid центарот при Инфективниот оддел на Клиничката болница Аџибадем Систина во периодот од март 2021 година до февруари 2022 година. Пациентите беа поделени во две групи според вакциналниот статус. Податоци за демографските карактеристики, коморбидитетите, вакцинацијата, бројот на примени дози, типот на кислородна и вентилаторна поддршка, должината на престој во болница, исходот од лекувањето беа следени и забележани. Резултати: Во студијата учествуваа 230 хоспитализирани COVID-19 позитивни пациенти. Вакцинирани беа50,4% од хоспитализираните, од кои 86,2% примиле две дози, 11,2% примиле една и 2,6% примиле три дози вакцини. Беше регистрирана значајна поврзаност помеѓу смртоносниот исход и вакцинацијата (PearsonChi-square: 5.32523, p=.0210), поврзаноста со бројот на дози на вакцинацијата (PearsonChi-square: 7.66262, p=.0435), поврзаноста со типот на вентилација (PearsonChi-square: 177.399, df=3, p=0.000), и поврзаноста со присуството на коморбидитети (3.90770, p=.0480). Заклучок: Вакциналниот статус и бројот на примени дози во нашата студија покажа значителен заштитен ефект за развој на тежок облик на болеста и летален исход