Sobre o notável teorema de Ptolomeu

A geometria elementar do plano foi proposta por Euclides em sua monumental obra Os Elementos, mediante um método axiomático-dedutivo. Assim, partindo de entes fundamentais, axiomas e postulados, resultados são demonstrados por meio de uma estrutura lógica, dentre eles os teoremas, formalizados como o binômio hipótese-tese, ou ainda afirmações que podem ser provadas como verdadeiras. Existem muitos teoremas e talvez o mais famoso, por uma ou outra razão, seja o teorema de Pitágoras associado ao triângulo retângulo. Aqui, vamos abordar o teorema de Ptolomeu, relacionado a um quadrilátero inscrito numa circunferência, também conhecido pelo nome de quadrilátero cíclico. A notabilidade do teorema de Ptolomeu é evidenciada por suas aplicações, dentre outras citamos, os teoremas de Stewart, de Hiparco e de Chadu; relações com polígonos regulares; com a trigonometria, recuperando as expressões para o seno e o cosseno da soma de arcos e, por fim, interessantes relações envolvendo cordas

Área de um triângulo e suas alturas

Com toda a certeza, o estudo das propriedades do triângulo e seus elementos, desempenha papel preponderante no estudo da geometria plana, também conhecida como geometria sintética. A partir deste estudo, por exemplo, o cálculo da área de outras figuras, tais como paralelogramo e trapézio, dentre outros, decorre de forma bastante natural, pois, em geral, podemos decompor tal figura plana em triângulos, somando as respectivas áreas a fim de obter a área da figura em questão. Aqui, neste trabalho, apresenta-se e discute-se uma relação entre a área de um triângulo e a área de seu correspondente triângulo cujos lados são o inverso das alturas do triângulo. Mostra-se que o produto dessas duas áreas é uma constante numérica, um resultado bastante interessante e aparentemente novo. Casos particulares são discutidos

Do triangulo às fórmulas de prostaférese

Quase todo professor já se deparou com a pergunta: para que serve? Esta pergunta ocorre nas séries iniciais onde vários conceitos são apresentados pela primeira vez. Também no Ensino Médio, na trigonometria, onde emergem, em geral, expressões que não contam com um embasamento teórico como as formulas de prostaférese, maneiras de fatorar somas ou diferenc¸as de razões trigonométricas. Aqui discorremos sobre a trigonometria, apenas no triângulo retângulo, apresentado no Ensino Fundamental, a partir de conceitos básicos, soma dos ângulos internos de um triângulo, ângulos inscrito e central. A metodologia faz uso de conceitos básicos a fim de obter resultados que, em geral, são apresentados apenas no Ensino Médio. Os resultados obtidos passam pela demonstração do teorema dos senos, arcos dobro e as fórmulas de prostaférese, que tem uma direta aplicação na resolução de uma ampla classe de equações trigonométricas. </jats:p