44 research outputs found

    Alternating minimization for simultaneous estimation of a latent variable and identification of a linear continuous-time dynamic system

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    We propose an optimization formulation for the simultaneous estimation of a latent variable and the identification of a linear continuous-time dynamic system, given a single input-output pair. We justify this approach based on Bayesian maximum a posteriori estimators. Our scheme takes the form of a convex alternating minimization, over the trajectories and the dynamic model respectively. We prove its convergence to a local minimum which verifies a two point-boundary problem for the (latent) state variable and a tensor product expression for the optimal dynamics

    Intelligence artificielle et réseau scientifique et technique

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    L’avenir des institutions du réseau scientifique et technique du ministère de l’environnement dépend-il des dernières formes d’intelligence artificielle ? Ce n’est pas une solution miracle du monde numérique transposable instantanément dans une institution technique. L’apprentissage automatique n’est qu’un outil, extension des techniques statistiques. Sa conceptualisation augure de nouveaux moyens de modélisation et d’aide à la décision. Mais son développement a de nombreux prérequis et nécessite de penser son intégration. Avant de gagner en compétence, en efficience, en visibilité ou en innovation, chaque institution du réseau doit choisir son public de destination

    Linearly-constrained Linear Quadratic Regulator from the viewpoint of kernel methods

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    International audienceThe linear quadratic regulator problem is central in optimal control and was investigated since the very beginning of control theory. Nevertheless, when it includes affine state constraints, it remains very challenging from the classical "maximum principle" perspective. In this study we present how matrix-valued reproducing kernels allow for an alternative viewpoint. We show that the quadratic objective paired with the linear dynamics encode the relevant kernel, defining a Hilbert space of controlled trajectories. Drawing upon kernel formalism, we introduce a strengthened continuous-time convex optimization problem which can be tackled exactly with finite dimensional solvers, and which solution is interior to the constraints. When refining a time-discretization grid, this solution can be made arbitrarily close to the solution of the state-constrained Linear Quadratic Regulator. We illustrate the implementation of this method on a path-planning problem

    Estimation et contrôle sous contraintes par méthodes à noyaux

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    Les contraintes ponctuelles d'état et de forme en théorie du contrôle et en estimation non-paramétrique sont difficiles à traiter car elles impliquent souvent un problème d'optimisation convexe en dimension infinie avec un nombre infini de contraintes d'inégalité. La satisfaction de ces contraintes est essentielle dans de nombreuses applications, telles que la planification de trajectoires ou la régression quantile jointe. Les noyaux reproduisants sont un choix propice aux évaluations ponctuelles. Cependant les théorèmes de représentation qui en sous-tendent les applications numériques ne peuvent pas être appliqués à un nombre infini d'évaluations. Par des arguments algébriques et géométriques constructifs, nous prouvons qu'un nombre infini de contraintes affines à valeur réelle sur les dérivées des fonctions peut être surcontraint par un nombre fini de contraintes coniques du second ordre si l'on considère des espaces de Hilbert à noyau reproduisant de fonctions à valeurs vectorielles. Nous montrons que le contrôle optimal linéaire-quadratique (LQ) sous contraintes d'état est une régression sous contrainte de forme sur l'espace de Hilbert de trajectoires contrôlées linéairement. Cet espace est défini par un noyau LQ explicite lié à la matrice de Riccati. L'efficacité de notre approche est illustrée par divers exemples issus de la théorie du contrôle linéaire et de l'estimation non-paramétrique. Enfin, nous énonçons des résultats pour des inclusions différentielles générales dans des problèmes de temps minimal et d'identification du graphe de la correspondance. Surtout nous faisons ressortir un lien nouveau entre méthodes à noyaux et contrôle optimal en identifiant le noyau hilbertien des espaces de trajectoires contrôlées linéairement.Pointwise state and shape constraints in control theory and nonparametric estimation are difficult to handle as they often involve convex optimization problem with an infinite number of inequality constraints. Satisfaction of these constraints is critical in many applications, such as path-planning or joint quantile regression. Reproducing kernels are propitious for pointwise evaluations. However representer theorems, which ensure the numerical applicability of kernels, cannot be applied for an infinite number of evaluations. Through constructive algebraic and geometric arguments, we prove that an infinite number of affine real-valued constraints over derivatives of the model can be tightened into a finite number of second-order cone constraints when looking for functions in vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces. We show that state-constrained Linear-Quadratic (LQ) optimal control is a shape-constrained regression over the Hilbert space of linearly-controlled trajectories defined by an explicit LQ kernel related to the Riccati matrix. The efficiency of the developed approach is illustrated on various examples from both linear control theory and nonparametric estimation. Finally, we provide some results for general differential inclusions in minimal time problems and identification of the graph of the set-valued map. Most of all we bring to light a novel connection between reproducing kernels and optimal control theory, identifying the Hilbertian kernel of linearly controlled trajectories

    Estimation et contrôle sous contraintes par méthodes à noyaux

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    Les contraintes ponctuelles d'état et de forme en théorie du contrôle et en estimation non-paramétrique sont difficiles à traiter car elles impliquent souvent un problème d'optimisation convexe en dimension infinie avec un nombre infini de contraintes d'inégalité. La satisfaction de ces contraintes est essentielle dans de nombreuses applications, telles que la planification de trajectoires ou la régression quantile jointe. Les noyaux reproduisants sont un choix propice aux évaluations ponctuelles. Cependant les théorèmes de représentation qui en sous-tendent les applications numériques ne peuvent pas être appliqués à un nombre infini d'évaluations. Par des arguments algébriques et géométriques constructifs, nous prouvons qu'un nombre infini de contraintes affines à valeur réelle sur les dérivées des fonctions peut être surcontraint par un nombre fini de contraintes coniques du second ordre si l'on considère des espaces de Hilbert à noyau reproduisant de fonctions à valeurs vectorielles. Nous montrons que le contrôle optimal linéaire-quadratique (LQ) sous contraintes d'état est une régression sous contrainte de forme sur l'espace de Hilbert de trajectoires contrôlées linéairement. Cet espace est défini par un noyau LQ explicite lié à la matrice de Riccati. L'efficacité de notre approche est illustrée par divers exemples issus de la théorie du contrôle linéaire et de l'estimation non-paramétrique. Enfin, nous énonçons des résultats pour des inclusions différentielles générales dans des problèmes de temps minimal et d'identification du graphe de la correspondance. Surtout nous faisons ressortir un lien nouveau entre méthodes à noyaux et contrôle optimal en identifiant le noyau hilbertien des espaces de trajectoires contrôlées linéairement.Pointwise state and shape constraints in control theory and nonparametric estimation are difficult to handle as they often involve convex optimization problem with an infinite number of inequality constraints. Satisfaction of these constraints is critical in many applications, such as path-planning or joint quantile regression. Reproducing kernels are propitious for pointwise evaluations. However representer theorems, which ensure the numerical applicability of kernels, cannot be applied for an infinite number of evaluations. Through constructive algebraic and geometric arguments, we prove that an infinite number of affine real-valued constraints over derivatives of the model can be tightened into a finite number of second-order cone constraints when looking for functions in vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces. We show that state-constrained Linear-Quadratic (LQ) optimal control is a shape-constrained regression over the Hilbert space of linearly-controlled trajectories defined by an explicit LQ kernel related to the Riccati matrix. The efficiency of the developed approach is illustrated on various examples from both linear control theory and nonparametric estimation. Finally, we provide some results for general differential inclusions in minimal time problems and identification of the graph of the set-valued map. Most of all we bring to light a novel connection between reproducing kernels and optimal control theory, identifying the Hilbertian kernel of linearly controlled trajectories

    Interpreting the dual Riccati equation through the LQ reproducing kernel

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    International audienceIn this study, we provide an interpretation of the dual differential Riccati equation of Linear-Quadratic (LQ) optimal control problems. Adopting a novel viewpoint, we show that LQ optimal control can be seen as a regression problem over the space of controlled trajectories, and that the latter has a very natural structure as a reproducing kernel Hilbert space (RKHS). The dual Riccati equation then describes the evolution of the values of the LQ reproducing kernel when the initial time changes. This unveils new connections between control theory and kernel methods, a field widely used in machine learning

    Noyaux reproduisants d’Aronszajn des mécaniques classique et quantique: Moindre action de Maupertuis et propagateur de Feynman

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    Cette étude présente comment la théorie des noyaux reproduisants d'Aronszajn permet de fonder des liens entre d'une part la mécanique classique et les fonctions valeur et d'autre part les espaces de Hilbert de la mécanique quantique. Nous montrons que le principe de moindre action et le propagateur de Feynman définis sur des trajectoires sont des exemples de noyaux reproduisants. A chaque lagrangien correspond ainsi un espace de Hilbert qu'il n'est pas nécessaire de postuler a priori. Les noyaux reproduisants permettent une description fonctionnelle, et non distributionnelle, des espaces de la mécanique quantique dont l'espace de Fock. Cet essai ouvre sur plusieurs directions de recherche et ne résout pas encore la construction formelle de l'intégrale de Feynman. Il rassemble en revanche un faisceau d'indices sur le pouvoir explicatif des noyaux reproduisants dans les approches variationnelles des mécaniques classique et quantique
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