Abelian Equations and Rank Problems for Planar Webs

We find an invariant characterization of planar webs of maximum rank. For 4-webs, we prove that a planar 4-web is of maximum rank three if and only if it is linearizable and its curvature vanishes. This result leads to the direct web-theoretical proof of the Poincar\'{e}'s theorem: a planar 4-web of maximum rank is linearizable. We also find an invariant intrinsic characterization of planar 4-webs of rank two and one and prove that in general such webs are not linearizable. This solves the Blaschke problem ``to find invariant conditions for a planar 4-web to be of rank 1 or 2 or 3''. Finally, we find invariant characterization of planar 5-webs of maximum rank and prove than in general such webs are not linearizable.Comment: 43 page

An explicit bijection between semistandard tableaux and non-elliptic sl_3 webs

The sl_3 spider is a diagrammatic category used to study the representation theory of the quantum group U_q(sl_3). The morphisms in this category are generated by a basis of non-elliptic webs. Khovanov- Kuperberg observed that non-elliptic webs are indexed by semistandard Young tableaux. They establish this bijection via a recursive growth algorithm. Recently, Tymoczko gave a simple version of this bijection in the case that the tableaux are standard and used it to study rotation and joins of webs. We build on Tymoczko's bijection to give a simple and explicit algorithm for constructing all non-elliptic sl_3 webs

Bedeutung unterschiedlicher Formen des Commitments und der Kooperation von Lehrkräften für schulische Entwicklungsprozesse – empirische Analysen an Schulen in herausfordernden Lagen

Insbesondere Schulen in herausfordernden Lagen, die oftmals mit schulexternen und -internen Schwierigkeiten konfrontiert sind, sind auf eine ausgeprägte Schulentwicklungskapazität u. a. in Verbindung mit einem hohen Engagement und einer elaborierten Kooperation von Lehrkräften angewiesen, um die Belastungen bewältigen zu können. Bislang ist jedoch offen, welche Formen des Commitments und der Kooperation von Lehrkräften schulische Entwicklungsprozesse an Schulen in herausfordernden Lagen fördern. Vor diesem Hintergrund werden in der Arbeit in drei Beiträgen basierend auf einer differenzierten Betrachtung unterschiedlicher Commitment- und Kooperationsformen von Lehrkräften die spezifischen lehrkräfte- und schulbezogenen Bedingungen und die differenziellen Effekte auf Prozesse der Schulentwicklung an Schulen in herausfordernden Lagen analysiert. Alle Beiträge entstanden im Kontext des integrierten Schulforschungs- und Schulentwicklungsprojekts „Potenziale entwickeln – Schulen stärken“. Aus der Arbeit geht hervor, dass zusätzlich zur Lehrkräftekooperation auch das Commitment von Lehrpersonen als multidimensionales Konstrukt empirisch abgebildet werden kann. Die Ergebnisse zeigen, dass vor allem das affektive Commitment gegenüber der Schule und dem Kollegium sowie die kokonstruktive Zusammenarbeit von Lehrkräften schulische Entwicklungsprozesse positiv beeinflussen. Das affektive Commitment von Lehrpersonen kann zudem als Gesundheitsressource fungieren, wohingegen ihr kalkulatorisches Commitment für sie eher einen Stressor bzw. Vulnerabilitätsfaktor darstellen kann. Die Befunde verdeutlichen darüber hinaus, dass entwicklungsförderliche Commitment- und Kooperationsformen von Lehrkräften nicht nur durch individuelle Merkmale der Lehrkräfte selbst, wie z.B. die Selbstwirksamkeitserwartung gefördert werden, sondern auch durch organisationale Merkmale der Schulkultur, wie beispielsweise durch ein positives Arbeitsklima und ein partizipativ-kooperatives Schulleitungshandeln begünstigt werden. Auf die kokonstruktive Zusammenarbeit wirken sich zusätzlich dazu schulstrukturelle Merkmale, wie z.B. institutionalisierte Teamformen und vereinbarte Kooperationszeiten günstig aus. Auf dieser Grundlage werden Perspektiven für weitere Forschungsarbeiten aufgezeigt sowie praktische Implikationen für das berufliche Handeln schulischer Akteurinnen und Akteure, die Gestaltung der Schulorganisation und die Konzeption schulischer Unterstützungssysteme mit Blick auf Schulen in herausfordernden Lagen diskutiert