Resolution of Nonsingularities, Point-theoreticity, and Metric-admissibility for p-adic Hyperbolic Curves

In this paper, we prove that arbitrary hyperbolic curves over p-adic local fields admit resolution of nonsingularities [“RNS”]. This result may be regarded as a generalization of results concerning resolution of nonsingularities obtained by A. Tamagawa and E. Lepage. Moreover, by combining our RNS result with techniques from combinatorial anabelian geometry, we prove that an absolute version of the geometrically pro-Σ Grothendieck Conjecture for arbitrary hyperbolic curves over p-adic local fields, where Σ denotes a set of prime numbers of cardinality ≥ 2 that contains p, holds. This settles one of the major open questions in anabelian geometry. Furthermore, we prove --again by applying RNS and combinatorial anabelian geometry-- that the various p-adic versions of the Grothendieck-Teichmüller group that appear in the literature in fact coincide. As a corollary, we conclude that the metrized Grothendieck-Teichmüller group is commensurably terminal in the Grothendieck-Teichmüller group. This settles a longstanding open question in combinatorial anabelian geometry

Non-Archimedean Analytic Geometry

The workshop focused on recent developments in non-Archimedean analytic geometry with various applications to arithmetic and algebraic geometry. These applications include questions in Arakelov theory, p-adic differential equations, p-adic Hodge theory and the geometry of moduli spaces. Various methods were used in combination with analytic geometry, in particular perfectoid spaces, model theory, skeleta, formal geometry and tropical geometry

Comportements anabéliens des courbes de Berkovich sous les perspectives tempérées

This work brings to light some anabelian behaviours of analytic curves in the context of Berkovich geometry. We show that the knowledge of the tempered fundamental group of some curves called analytically anabelian determines their analytic skeletons as graphs. The famous Drinfeld half-plane is an example of such a curve. The tempered fundamental group of a Berkovich space, introduced by André, enabled Mochizuki to prove the first anabelian result in Berkovich geometry, dealing with analytifications of hyperbolic curves over algebraic closures of p-adic fields. To that end, Mochizuki develops the language of semi-graphs of anabelioids and temperoids. Our work consists in associating a semi-graph of anabelioids to a Berkovich curve equipped with a minimal triangulation and in adapting the results of Mochizuki in order to recover the analytic skeleton of the curve. The novelty of this anabelian result lies in the fact that the curves we are interested in are no longer supposed to be of algebraic nature. Finally, combining some results of resolution of non-singularities to some fine study of decomposition sets of torsors and associated harmonic cochains, we obtain some result of partial anabelianity of lenghts of annuli.Ce travail met en évidence certains comportements anabéliens des courbes analytiques au sens de la géométrie de Berkovich. Nous y montrons que la connaissance du groupe fondamental tempéré de certaines courbes appelées analytiquement anabéliennes détermine leurs squelettes analytiques en tant que graphes. Le fameux demi-plan de Drinfeld est un exemple de telles courbes. Le groupe fondamental tempéré d'un espace de Berkovich, introduit par André, a permis à Mochizuki de démontrer le premier résultat anabélien en géométrie de Berkovich, concernant les analytifiées de courbes hyperboliques sur les clôtures algébriques de corps p-adiques. À cette fin Mochizuki développe le langage des semi-graphes d'anabélioïdes et des tempéroïdes. Notre travail consiste à associer un semi-graphe d'anabélioïdes à une courbe analytique munie d'une triangulation minimale, et à adapter les résultats de Mochizuki afin de retrouver le squelette analytique de la courbe. La nouveauté de ces résultats anabéliens est que les courbes auxquelles nous nous intéressons ne sont plus supposées de nature algébrique. Enfin, en combinant des résultats de résolution des non-singularités à une étude fine des ensembles de déploiement des torseurs d'une courbe analytique en fonction des valeurs des cochaînes harmoniques associées, nous obtenons un résultat d'anabélianité partielle de la longueur d'une couronne

Anabelian behaviours of Berkovich curves under tempered perspectives

Ce travail met en évidence certains comportements anabéliens des courbes analytiques au sens de la géométrie de Berkovich. Nous y montrons que la connaissance du groupe fondamental tempéré de certaines courbes appelées analytiquement anabéliennes détermine leurs squelettes analytiques en tant que graphes. Le fameux demi-plan de Drinfeld est un exemple de telles courbes. Le groupe fondamental tempéré d'un espace de Berkovich, introduit par André, a permis à Mochizuki de démontrer le premier résultat anabélien en géométrie de Berkovich, concernant les analytifiées de courbes hyperboliques sur les clôtures algébriques de corps p-adiques. À cette fin Mochizuki développe le langage des semi-graphes d'anabélioïdes et des tempéroïdes. Notre travail consiste à associer un semi-graphe d'anabélioïdes à une courbe analytique munie d'une triangulation minimale, et à adapter les résultats de Mochizuki afin de retrouver le squelette analytique de la courbe. La nouveauté de ces résultats anabéliens est que les courbes auxquelles nous nous intéressons ne sont plus supposées de nature algébrique. Enfin, en combinant des résultats de résolution des non-singularités à une étude fine des ensembles de déploiement des torseurs d'une courbe analytique en fonction des valeurs des cochaînes harmoniques associées, nous obtenons un résultat d'anabélianité partielle de la longueur d'une couronne.This work brings to light some anabelian behaviours of analytic curves in the context of Berkovich geometry. We show that the knowledge of the tempered fundamental group of some curves called analytically anabelian determines their analytic skeletons as graphs. The famous Drinfeld half-plane is an example of such a curve. The tempered fundamental group of a Berkovich space, introduced by André, enabled Mochizuki to prove the first anabelian result in Berkovich geometry, dealing with analytifications of hyperbolic curves over algebraic closures of p-adic fields. To that end, Mochizuki develops the language of semi-graphs of anabelioids and temperoids. Our work consists in associating a semi-graph of anabelioids to a Berkovich curve equipped with a minimal triangulation and in adapting the results of Mochizuki in order to recover the analytic skeleton of the curve. The novelty of this anabelian result lies in the fact that the curves we are interested in are no longer supposed to be of algebraic nature. Finally, combining some results of resolution of non-singularities to some fine study of decomposition sets of torsors and associated harmonic cochains, we obtain some result of partial anabelianity of lenghts of annuli