Hyperbolicité complexe : méthodes algébriques et transcendantes, et application à des problèmes d’uniformisation

Abstract

The word "hyperbolic" is a polysemic term commonly used in geometry to qualify objects "with negative curvature" properties. In complex algebraic geometry, this term has a more specialized meaning : we essentially designate as hyperbolic the complex projective varieties that do not admit any entire curve, i.e. non-constant holomorphic maps starting from the complex plane, taking their values in the given variety. The main conjectures of the field (and in particular the celebrated Green-Griffiths-Lang conjecture) predict that complex projective varieties of "general type" should admit only "few" such entire curves. This thesis presents several approaches to the study of this conjecture for several classes of complex varieties, using a spectrum of both algebraic and transcendental techniques.Among the algebraic methods, we describe several techniques for constructing jet differential equations, well suited to the study of hyperbolicity of hypersurfaces in the projective spaces. We also present several methods applicable in the quasi-projective setting, in particular to study the varieties admitting "big" representations of their fundamental group. Perhaps somewhat surprisingly, these last transcendental techniques – jointly with the theory of Campana’s special varieties and orbifolds – can be applied to problems of uniformization by the ball in a singular or quasi-projective setting : these last results are described in the final chapter of this thesis.Le mot "hyperbolique" est un terme polysémique usuellement employé en géométrie pour qualifier les objets "à courbure négative". En géométrie algébrique complexe, le terme a un sens plus précis : on qualifie essentiellement d’hyperboliques les variétés projectives complexes n’admettant pas de courbes entières, c’est-à-dire d’applications holomorphes non constantes partant du plan complexe, et à valeurs dans la variété donnée. Les conjectures centrales du domaine (dont la célèbre conjecture de Green-Griffiths-Lang) prédisent que les variétés projectives dites "de type général" devraient admettre "peu" de telles courbes entières.Ce mémoire présente quelques approches à l’étude de cette conjecture pour diverses classes de variétés complexes, utilisant un spectre de techniques tant algébriques que transcendantes. Parmi les méthodes algébriques, on décrit notamment des techniques de construction d’équations différentielles de jets, très adaptées à l’étude de l’hyperbolicité des hypersurfaces de l’espace projectif. On présente aussi quelques méthodes transcendantes applicables dans le cas quasi-projectif, notamment pour étudier les variétés admettant de "grosses" représentations du groupe fondamental.De façon peut-être un peu surprenante, ces dernières techniques – jointes à la théorie des orbifoldes et des variétés spéciales de Campana – trouvent une application à des problèmes d’uniformisation par la boule dans un cadre singulier ou quasi-projectif : ces résultats sont présentés dans la dernière partie du présent mémoire