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Numerische und statistische Aspekte von Tensor-Zerlegungen

By Paul Breiding

Abstract

In this work we study numerical and statistical properties of tensor decompositions, namely the canonical-polyadic decomposition— commonly known as tensor-rank decomposition—and the computation of tensor eigenpairs. After a preliminary section, in which we consider tensors and their properties, explain the use of condition numbers in numerical analysis and give a short introduction to random tensors, this work is divided into three parts. In the first part we define a condition number for the tensor-rank decomposition, give an algorithm to compute tensor-rank decompositions and analyze this algorithm by means of the aforementioned condition number. Furthermore, we give an interpretation of the condition number for the tensor-rank decomposition as an inverse distance to ill-posedness. In the second part we give an introduction to eigenpairs of tensors. Thereafter, we compute the density of an eigenvalue that is chosen uniform at random from all the eigenvalues of a tensor, whose entries are i.i.d. complex Gaussian ran- dom variables. Furthermore, we construct an efficient (average polynomial-time) homotopy-method to solve for tensor eigenpairs. Finally, in the third part we investigate the expected number of real eigenpairs for a random real tensor tensor. We consider two random tensor models: The first is the generalization of the real Ginibre ensemble from matrices to tensors; the second is the generalization of the Gaussian Orthogonal Ensemble from symmetric matrices to symmetric tensors.In dieser Arbeit werden numerische und statistische Eigenschaft von Tensor Zerlegungen untersucht. Diese sind die kanonisch-polyadische Zerlegung—auch bekannt als Tensor-Rang Zerlegung—und die Berechnung von Tensor Eigenpaaren. Zunächst stellen wir in einem einleitenden Abschnitt Tensoren und ihre Eigenschaften vor, erklären den Nutzen von Konditionszahlen in der numerischen Analyse und geben eine kurze Einleitung in zufällige Tensoren. Der weitere Teil der Arbeit ist in drei Abschnitte gegliedert. Im ersten Abschnitt definieren wir die Konditionszahl der Tensor-Rang Zerlegung, beschreiben einen Algorithmus um jene zu berechnen und analysieren diesen Algorithmus mit Hilfe der zuvor genannten Konditionszahl. Zudem interpretieren wir die Konditionszahl als inversen Abstand zur ”ill-posedness”. Darauf folgend, im zweiten Teil, geben wir eine Einführung in Tensor Eigenpaare. Im Anschluss berechnen wir die Dichte eines Eigenwertes, der uniform aus allen Eigenwerten eines zufälligen complexen Tensors gezogen wird. Dabei sind die Einträge des Tensors unabhängig und identisch verteilte complex Gauss’sche Zufallsvariablen. Weiterhin beschreiben wir ein effizientes (im Mittel Polynomialzeit) Homotopie-Verfahren um Tensor Eigenpaare zu berechnen. Im dritten und letzten Abschnitt untersuchen wir die erwartete Anzahl reeller Eigenpaare eines reellen zufälligen Tensors. Dabei betrachten wir zwei Modelle eines zufälligen Tensors: Das Erste ist die Verallgemeinerung des reellen Ginibre Ensembles von Matrizen zu Tensoren; das zweite ist die Verallgemeinerung des Gauss’schen Orthogonal Ensembles von symmetrischen Matrizen zu symmetrischen Tensoren.DFG, BU 1371/2-2, Geglättete Analyse von Konditionszahle

Topics: 518 Numerische Analysis, numerical analysis, tensors, random polynomials, numerische Analyse, Tensoren, zufällige Polynome
Year: 2017
OAI identifier: oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/6710
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