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Contraction analysis of nonlinear random dynamical systems

By Nicolas Tabareau and Jean-Jacques Slotine

Abstract

In order to bring contraction analysis into the very fruitful and topical fields of stochastic and Bayesian systems, we extend here the theory describes in \cite{Lohmiller98} to random differential equations. We propose new definitions of contraction (almost sure contraction and contraction in mean square) which allow to master the evolution of a stochastic system in two manners. The first one guarantees eventual exponential convergence of the system for almost all draws, whereas the other guarantees the exponential convergence in $L_2$ of to a unique trajectory. We then illustrate the relative simplicity of this extension by analyzing usual deterministic properties in the presence of noise. Specifically, we analyze stochastic gradient descent, impact of noise on oscillators synchronization and extensions of combination properties of contracting systems to the stochastic case. This is a first step towards combining the interesting and simplifying properties of contracting systems with the probabilistic approach.La théorie de la contraction (\cite{Lohmiller98} ) sert à l'étude de la stabilité des systèmes dynamiques non-linéaires. Dans ce rapport, nous étendons la théorie de la contraction aux cas des équations différentielles aléatoires. % Nous proposons deux nouvelles définitions de la contraction dans un cadre aléatoire (contraction presque sûre, et contraction aux moindres carrés) qui permettent de contrôler l'évolution d'un système stochastique de deux manières. La première garantie la convergence exponentielle pour presque toutes les réalisations du système, tandis que la deuxième garantie la convergence dans $L_2$ à une trajectoire unique. Nous illustrons enfin la relative simplicité de cette extension en analysant des propriétés déterministes bien connu dans un cadre bruité. Plus spécifiquement, nous analysons la descente de gradient stochastique, l'impact du bruit sur la synchronisation d'oscillateurs et l'extension des propriétés de combinaison de systèmes contractant aux cas stochastique

Topics: [MATH.MATH-OC]Mathematics [math]/Optimization and Control [math.OC]
Publisher: HAL CCSD
Year: 2013
OAI identifier: oai:HAL:hal-00864079v2
Provided by: HAL Mines Nantes

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