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Processus de Dunkl, matrices aléatoires, et marches aléatoires sur des espaces non-commutatifs

By Francois Chapon

Abstract

There are four independent parts composing this thesis. The aim of the first part is the construction of the affine Dunkl process, which is a càdlàg Markov process whose infinitesimal generator is given by the Dunkl Laplacian in the case of an affine root system. The construction of the process is achieved by a skew-product representation by means of its radial part and a jump process on the associated Weyl group. The second part is the study of right eigenvalues of Gaussian quaternionic random matrices, where we prove the almost surely convergence of the empirical spectral distribution. The third part deals with random walks in noncommutative spaces, which are discrete time approximations of some eigenvalues processes of minors of Hermitian Brownian motion. The natural context for this study is invariant theory which allows to characterize the Markovian property of some of these processes. Finally, in the last part we prove a Courant theorem on the interlacing property of zeros of eigenfunctions of a Schrödinger operator on a finite tree.Quatre parties indépendantes composent la présente thèse. La première partie porte sur la construction du processus de Dunkl affine, qui est un processus de Markov càdlàg dont le générateur infinitésimal est donné par le laplacien de Dunkl pour un système de racines de type affine. Cette construction est obtenue par une décomposition de type skew-product, entre sa partie radiale et un processus de sauts sur le groupe de Weyl affine associé. La seconde partie est consacrée à l'étude des valeurs propres à droite de matrices aléatoires gaussiennes à entrées quaternioniques, où nous montrons la convergence presque sûre de la mesure spectrale empirique. Dans la troisième partie, nous étudions des marches aléatoires non-commutatives qui sont des approximations en temps discret de certains processus des valeurs propres issus des mineurs du mouvement brownien hermitien. Le contexte naturel pour cette étude est la théorie des invariants qui permet alors de caractériser le caractère markovien de certains de ces processus. Enfin, dans la dernière partie nous montrons un théorème de type Courant sur la propriété d'entrelacement des zéros des fonctions propres d'un opérateur de Schrödinger sur un arbre fini

Topics: Dunkl processes, random matrices, noncommutative probability, Hermitian Brownian motion, trees, processus de Dunkl, matrices aléatoires, probabilités non-commutatives, mouvement brownien hermitien, arbres, [ MATH ] Mathematics [math]
Publisher: HAL CCSD
Year: 2010
OAI identifier: oai:HAL:tel-00546082v1
Provided by: Hal-Diderot

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