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DECOMPOSITIONS ET ALGORITHMES PROXIMAUX POUR L'ANALYSE ET LE TRAITEMENT ITERATIF DES SIGNAUX

By Valérie Rozenbaum Wajs

Abstract

This thesis is devoted to the study and the resolution of certains nonlinear problems in signal and image processing via convex analysis. We propose a unified variational investigation of inverse problems and signal decomposition problems which have so far been studied individually, because of their apparent disparity. In the model we adopt, this family of problems is reduced generically to the minimization of the sum of two convex functions with certain regularity properties. Existence, uniqueness and characterization results are obtained for this problem. The proximity operator, introduced by Moreau in 1962 to study certains problems in mechanics, plays a basic role in our analysis. We apply it in particular to obtain new nonlinear signal decomposition schemes. Moreover, this tool is at the heart of the forwardbackward algorithm which we propose to solve the generic problem. This theoretical framework is applied to signal analysis and to image restoration. The restoration problems under consideration are posed on frames and our approach makes it possible to take into account sparsity constraints or to model Bayesian formulations with a priori knowledge on the distribution of the coefficients of the decomposition. Numerical results are provided.Cette th'ese est consacr'ee 'a l''etude et la r'esolution de certains probl'emes non lin'eaires du traitement du signal et de l'image via l'analyse convexe. Nous proposons une 'etude variationnelle unifi'ee de probl'emes inverses et de probl'emes de d'ecomposition de signaux qui ont, jusqu''a pr'esent, 'et'e 'etudi'es individuellement en raison de leur apparente disparit'e. Dans le mod'ele adopt'e, cette famille de probl'emes est r'eduite g'en'eriquement 'a la minimisation d'une somme de deux fonctions soumises 'a certaines propri'et'es de r'egularit'e. Des r'esultats d'existence, d'unicit'e et de caract'erisation du probl'eme ainsi pos'e sont obtenus. L'op'erateur proximal, introduit par Moreau en 1962 pour les besoins de la m'ecanique, joue un rˆole essentiel dans notre analyse. Nous l'utilisons notamment pour obtenir de nouveaux sch'emas non lin'eaires de d'ecomposition de signaux. Cet outil est par ailleurs au coeur de l'algorithme explicite-implicite que nous proposons pour la r'esolution du probl'eme g'en'erique. Ce cadre th'eorique est appliqu'e 'a l'analyse de signaux et 'a la restauration d'images. Les probl'emes de restauration que nous abordons sont pos'es sur des trames et notre approche permet de prendre en compte des contraintes de parcimonie ou de mod'eliser des formulations bay'esiennes avec des connaissances a priori sur les lois des coefficients de la d'ecomposition. Des r'esultats num'eriques sont fournis

Topics: Opérateur proximal, algorithme, existence de solutions, décomposition de Moreau, estimation, traitement de l'image, optimisation convexe, [ MATH.MATH-NA ] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
Publisher: HAL CCSD
Year: 2007
OAI identifier: oai:HAL:tel-00935698v1
Provided by: Hal-Diderot

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