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Résonances en espace-temps et ondes confinées.

By Nicolas Laillet

Abstract

This thesis focuses on long-time existence and long-time dynamics for the solutions of some bidimensional wave equations where one direction is trapped, either by the geometry of the problem (if we take a wave equation on RxT) or by a harmonic potential in one direction. After presenting the methods used in the harmonic analysis of dispersive equations (with a special focus on the so-called space-time resonances method), we start by studying the wave equation with a mass on RxT (i.e. Klein-Gordon's equation) in order to prove a long-time existence and uniqueness theorem: it will allow us to explain in detail the methods used for an anisotropic problem. Then we establish a long-time existence and uniqueness theorem for the wave equation on R2 with a harmonic potential in one direction. Finally we approximate the long-time dynamics of this equation by a resonant equation: we derive this system, prove a long-time existence theorem and a L2 approximation theorem.Cette thèse s'attache à l'existence et la dynamique en temps long de solutions d'équations des ondes bidimensionnelles dans lesquelles l'une des deux directions est confinée, soit par la géométrie du problème (équation des ondes sur RxT), soit par un potentiel harmonique dans une direction. Après une présentation des méthodes utilisées pour l'analyse harmonique des équations dispersives (notamment la méthode dite des résonances en espace-temps), nous nous intéressons à l'équation des ondes avec masse non-nulle (ou de Klein-Gordon) sur RxT pour prouver un théorème d'existence et d'unicité en temps long et expliciter les méthodes employées pour traiter un problème anisotrope. Puis nous établissons un théorème d'existence en temps long pour l'équation des ondes sur R2 avec potentiel harmonique dans une direction. Nous approchons ensuite cette équation par une équation résonante: nous dérivons cette équation et nous prouvons un théorème d'existence en temps long, ainsi qu'un théorème d'approximation L2

Topics: Dispersive equations, Harmonic potential, Space-time resonances, Resonant system, Wave equation, Klein-Gordon equation, Long-time dynamics, Équations dispersives, Potentiel harmonique, Résonances en espace-temps, Système résonant, Équation des ondes, Dynamique en temps long, Équation de Klein-Gordon, [ MATH ] Mathematics [math]
Publisher: HAL CCSD
Year: 2015
OAI identifier: oai:HAL:tel-01171841v1
Provided by: Hal-Diderot

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