Illumination dans les billards polygonaux et dynamique symbolique

Abstract

The first part of this thesis deals with illumination on polygonal billiards and translation surfaces.We study the relationships between the finite blocking property (illumination property), pure periodicity (dynamical property) and being a torus branched covering (geometrical property).We show that those three properties are equivalent for the Veech surfaces, for the translation surfaces of genus 2, for the surfaces whose homology is generated by the periodic orbits of the geodesic flow and therefore on a dense open subset of full measure in every stratum of the moduli space of translation surfaces.The second part deals with symbolic dynamics.We give some bounds of the number of invariant ergodic probability measures of a subshift that depend on the geometry of combinatorial objects associated to its language: the Rauzy graphs and the tree of left special factors. Then, we then introduce and study a particular class of subshifts: the multi-scale quasiperiodic subshifts.We prove that they are uniquely ergodic and that their Kolmogorov complexity and their topologocal entropy vanish.La premièere partie de cette thèse traite d'illumination dans les billards polygonaux et les surfaces de translation. Nous étudions les relations entre la propriété de blocage fini (propriété d'illumination), la pure périodicité (propriété dynamique) et le fait d'être un un revêtement ramifié d'un tore plat (propriété géométrique). Nous montrons que ces trois notions sont équivalentes pour les surfaces de Veech, pour les surfaces de translation de genre 2, pour les surfaces dont l'homologie est engendrée par les orbites périodiques du flot géodésique et en particulier sur un ouvert dense de mesure pleine dans chaque strate de l'espace des modules des surfaces de translation.La deuxième partie traite de dynamique symbolique topologique.Nous majorons le nombre de mesures de probabilité ergodiques invariantes d'un sous-shift en fonction de la géométrie d'objets combinatoires associés à son langage : les graphes de Rauzy et l'arbre des spéciaux à gauche.Puis nous introduisons et étudions une classe particulière de sous-shifts : les sous-shifts quasipériodiques multiéchelle. Nous montrons entre autres qu'ils sont uniquement ergodiques, de complexité de Kolmogorov et d'entropie topologique nulles