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The Asymptotic Behaviour of the Riemann Mapping Function at Analytic Cusps

By Sabrina Lehner

Abstract

The well-known Riemann Mapping Theorem states the existence of a conformal map of a simply connected proper domain of the complex plane onto the upper half plane. One of the main topics in geometric function theory is to investigate the behaviour of the mapping functions at the boundary of such domains. In this work, we always assume that a piecewise analytic boundary is given. Hereby, we have to distinguish regular and singular boundary points. While the asymptotic behaviour for regular boundary points can be investigated by using the Schwarz Reflection at analytic arcs, the situation for singular boundary points is far more complicated. In the latter scenario two cases have to be differentiated: analytic corners and analytic cusps. The first part of the thesis deals with the asymptotic behaviour at analytic corners where the opening angle is greater than 0. The results of Lichtenstein and Warschawski on the asymptotic behaviour of the Riemann map and its derivatives at an analytic corner are presented as well as the much stronger result of Lehman that the mapping function can be developed in a certain generalised power series which in turn enables to examine the o-minimal content of the Riemann Mapping Theorem. To obtain a similar statement for domains with analytic cusps, it is necessary to investigate the asymptotic behaviour of a Riemann map at the cusp and based on this result to determine the asymptotic power series expansion. Therefore, the aim of the second part of this work is to investigate the asymptotic behaviour of a Riemann map at an analytic cusp. A simply connected domain has an analytic cusp if the boundary is locally given by two analytic arcs such that the interior angle vanishes. Besides the asymptotic behaviour of the mapping function, the behaviour of its derivatives, its inverse, and the derivatives of the inverse are analysed. Finally, we present a conjecture on the asymptotic power series expansion of the mapping function at an analytic cusp.Der wohlbekannte Riemannsche Abbildungssatz liefert die Existenz einer konformen Abbildung eines einfach zusammenhängenden, echten Teilgebietes der komplexen Ebene auf die obere Halbebene. Die Untersuchung des Verhaltens solcher Abbildungen am Rand der Gebiete ist ein zentrales Thema der geometrischen Funktionentheorie. In der vorliegenden Arbeit gehen wir stets von einem stückweise analytischen Rand aus. Dabei müssen wir reguläre und singuläre Randpunkte unterscheiden. Während das Verhalten einer Riemann-Abbildung an regulären Randpunkten mit Hilfe des Schwarzschen Spiegelungsprinzips an analytischen Kurvenbögen einfach zu bestimmen ist, gestaltet sich dies in der Situation von singulären Randpunkten sehr viel komplizierter. In diesem Fall müssen wir erneut eine Unterscheidung treffen, nämlich ob es sich um eine analytische Ecke oder eine analytische Spitze handelt. Der erste Teil der Dissertation beschäftigt sich mit dem asymptotischen Verhalten einer Riemann-Abbildung an analytischen Ecken. Eine solche liegt vor, falls der Öffnungswinkel zwischen den analytischen Kurvenstücken an dem singulären Randpunkt größer als 0 ist. Es werden die Ergebnisse von Lichtenstein und Warschawski präsentiert, die sich mit dem Verhalten der Riemann-Abbildung und deren Ableitungen beschäftigt haben, sowie das stärkere Ergebnis von Lehman welches besagt, dass die Abbildung in eine verallgemeinerte Potenzreihe entwickelt werden kann. Unter Verwendung dieses Resultats konnte bereits der o-minimale Gehalt des Riemannschen Abbildungssatzes untersucht werden. Um ein ähnliches Ergebnis für den Fall, dass das Gebiet analytische Spitzen hat, zu erhalten, benötigen wir zunächst das asymptotische Verhalten der Riemann-Abbildung an einer Spitze. Darauf aufbauend kann die asymptotische Reihenentwicklung untersucht werden. Daher zielt der zweite Abschnitt dieser Arbeit darauf ab, das Verhalten der Abbildung an einer Spitze zu bestimmen. Dabei sprechen wir von einer analytischen Spitze, wenn der Rand des Gebietes lokal durch zwei reguläre analytische Bögen gegeben ist, deren Öffnungswinkel verschwindet. Neben dem asymptotischen Verhalten der Abbildung wird auch das Verhalten der Ableitungen, ihrer Umkehrfunktion und deren Ableitungen untersucht. Abschließend präsentieren wir eine Vermutung über die asymptotische Reihenentwicklung der Abbildung an einer analytischen Spitze

Topics: Geometrische Funktionentheorie, Randverhalten, Riemannscher Abbildungssatz, ddc:510
Year: 2016
OAI identifier: oai:kobv.de-opus4-uni-passau:358

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