Propagation du chaos conditionnelle pour des systèmes de neurones en interaction en champ moyen

Abstract

We study the stochastic system of interacting neurons introduced in De Masi et al. (2015) and in Fournier and L\"ocherbach (2016) in a diffusive scaling. The system consists of $N$ neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the potential of the spiking neuron is reset to $0$ and all other neurons receive an additional amount of potential which is a centred random variable of order $ 1 / \sqrt{N}.$ In between successive spikes, each neuron's potential follows a deterministic flow. We prove the convergence of the system, as $N \to \infty$, to a limit nonlinear jumping stochastic differential equation driven by Poisson random measure and an additional Brownian motion $W$ which is created by the central limit theorem. This Brownian motion is underlying each particle's motion and induces a common noise factor for all neurons in the limit system. Conditionally on $W,$ the different neurons are independent in the limit system. This is the {\it conditional propagation of chaos} property. We prove the well-posedness of the limit equation by adapting the ideas of Graham (1992) to our frame. To prove the convergence in distribution of the finite system to the limit system, we introduce a new martingale problem that is well suited for our framework. The uniqueness of the limit is deduced from the exchangeability of the underlying system.Nous étudions un système stochastique de neurones en interaction introduit dans De Masi et al. (2015) et dans Fournier et Löcherbach (2016) dans une normalisation diffusive. Le système est constitué de N neurones, chacun envoie des décharges aléatoirement avec un taux qui dépend de son potentiel de membrane. A chaque instant de décharge, le potentiel du neurone correspondant est réinitialisé à 0 et tous les autres neurones reçoivent une quantité de potentiel supplémentaire, qui est une variable aléatoire centrée de l'ordre de $N^{-1/2}$. Entre deux décharges successives, le potentiel de chaque neurone suit un flot déterministe. Nous prouvons que ce système converge, quand N tend vers l'infini, vers équation différentielle stochastique avec saut dirigée par un mesure de Poisson et un mouvement brownien W, qui est créé par le théorème central limite. Ce mouvement brownien régit les mouvements de toutes les particules, et crée un bruit commun à tous les neurones du système limite. Conditionnellement à W, les neurones sont indépendants dans le système limite. C'est la propriété de propagation du chaos conditionnelle. Nous prouvons que le système limite est bien-posé en adaptant les idées de Graham (1992) à notre cadre. Pour prouver la convergence en loi du système fini vers le système limite, nous introduisons un nouveau problème de martingale adapté à notre cadre de travail. L'unicité de la limite est une conséquence de l'échangeabilité du système associé

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This paper was published in HAL-Paris1.

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