Analytical solution of the generalized problem of elastic impact of solids

Abstract

Аналітичний розв’язок узагальненої задачі механічного удару двох пружних тіл обертання в постановці Г. Герца виражено через періодичний Ateb-синус і його степені. Виведено формули для розрахунку зміни у часі зближення центрів мас тіл, сили ударної взаємодії, радіуса площадки контакту та тиску в її центрі. Одержано компактні формули максимумів вказаних величин, які досягаються в кінці процесу динамічного стискання тіл. Виведена також формула тривалості удару в часі. Відзначено, що тривалість залежить від порядку граничних поверхонь тіл, підданих удару. Для врахування місцевих контактних деформацій тіл в зоні їх взаємодії використано узагальнений розв’язок осесиметричної контактної задачі теорії пружності, побудований І. Я. Штаєрманом для випадку, коли тверді тіла обмежені поверхнями, що мають порядок більший другого. Показано, що із одержаних теоретичних результатів, які стосуються щільного дотику тіл, підданих удару, як окремий випадок, випливають відомі класичні результати, одержані Г. Герцем. Отримано формулу визначеного інтегралу від степені Ateb-синуса, що виражає ударний імпульс. Розглянуто приклад пружного удару тіл, одне з яких обмежене поверхнею четвертого порядку. Для обчислення значень Ateb-синуса рекомендовано використовувати його апроксимацію елементарними функціями. Показано, що числові результати, одержані за допомогою аналітичного розв’язку, з використанням цієї апроксимації, добре узгоджується з результатами числового інтегрування рівняння удару на комп’ютері. Досліджено вплив геометричних характеристик граничних поверхонь на розрахункові параметри удару, що відбувається з невеликою початковою швидкістю. Враховуючи симетрію характеристик пружного удару, відносно часу їх максимумів, для розрахунку процесу динамічного розтискання тіл, рекомендовано використовувати аналітичні розв’язки, побудовані для етапу стискання тіл. Викладена теорія стосується виключно пружного удару, коли динамічне стискання не призводить до появи пластичних деформацій. Це накладає суттєве обмеження на початкову швидкість удару.The analytical solution of the generalized problem of mechanicalshock of two elastic bodies of revolution in the formulation of H. Hertz is expressed through the periodic Ateb-sine and its degrees.The formulas for calculating the time variation of the convergence of the centers of mass of bodies, the force of the shock interaction, the radius of the contact area and the pressure at its center are derived. Compact formulas for the maxima of these quantities are obtained, which are achieved at the end of the process of dynamic compression of bodies. The formula for the duration of the impact intime is also derived. It is noted that the duration depends on the order of the boundary surfaces of the bodies subjected to impact. To account for regional informational deformations of bodies in the zone of their interaction, a generalized solution of the contact problem of the theory of elasticity, constructed by I.Ya. Shtaermann for the case when solids are bounded by surfaces that have an order greater than the second. It is shown that from the obtained theoretical results, which relate to the dense contact of bodies subject to impact, as a special case, the well-known classical results obtained by H. Hertz follow. The formula of a definite integral of the degree ofAteb-sine, which expresses the shock pulse, is obtained. An example of elastic impact of bodies, one of which is limited to a fourth-order surface, is considered. To calculate the values of the Ateb-sine, it is recommended to use its approximation by elementary functions. It is shown that the numerical results obtained using an analytical solution, using this approximation, agree well with the results of numerical integration of the impact equation on a computer. The influence of the geometric characteristics of the boundary surfaces on the design parameters of the impact, which occurs with asmall initial velocity, is investigated. Taking into account the symmetry of the characteristics of elastic impact in time, it is recommended to use analytical solutions built for the stage of compression of bodies to calculate the process of dynamic unclamping of bodies. The theory presented deals with exceptional elastic impact, when dynamic compression does not lead to plastic deformations. This imposes a significant limitation on the initial impact velocity