Magnetohydrodynamic duct and channel flows at finite magnetic Reynolds numbers

Abstract

Magnetohydrodynamic duct flows have so far been studied only in the limit of negligible magnetic Reynolds numbers ($R_m$). When $R_m$ is finite, the secondary magnetic field becomes significant, leading to a fully coupled evolution of the magnetic field and the conducting flow. Characterization of such flows is essential in understanding wall-bounded magnetohydrodynamic turbulence at finite $R_m$ as well as in industrial applications like the design of electromagnetic pumps and measurement of transient flows using techniques such as Lorentz force velocimetry. This thesis presents the development of a numerical framework for direct numerical simulations (DNS) of magnetohydrodynamic flows in straight rectagular ducts at finite $R_m$, which is subsequently used to study three specific problems. The thesis opens with a brief overview of MHD and a review of the existing state of art in duct and channel MHD flows. This is followed by a description of the physical model governing the problem of MHD duct flow with insulating walls and streamwise periodicity. In the main part of the thesis, a hybrid finite difference-boundary element computational procedure is developed that is used to solve the magnetic induction equation with boundary conditions that satisfy interior-exterior matching of the magnetic field at the domain wall boundaries. The numerical procedure is implemented into a code and a detailed verification of the same is performed in the limit of low $R_m$ by comparing with the results obtained using a quasistatic approach that has no coupling with the exterior. Following this, the effect of $R_m$ on the transient response of Lorentz force is studied using the problem of a strongly accelerated solid conducting bar in the presence of an imposed localized magnetic field. The response time of Lorentz force depends linearly on $R_m$ and shows a good agreement with the existing experiments. For sufficiently large values of $R_m$, the peak Lorentz force is found to show an ${R_m}^{-1}$ dependence. After this, the phenomenon of dynamic runaway due to magnetic flux expulsion in a two-dimensional channel flow is studied. Comparison with an existing one-dimensional model shows a close agreement for the Hartmann regime and the bifurcation location but the model overpredicts the core velocities in the Poisuelle regime significantly. Parametric studies indicate the importance of the streamwise wavenumber of the imposed magnetic field on the bifurcation point. Finally, turbulent Hartmann duct flow is investigated at moderate vaues of $R_m$. A higher $R_m$ is found to delay the onset of relaminarization to a higher value of Hartmann number. Large scale turbulence is induced at moderate $R_m$ and the effect increases with $R_m$. Between the core and the Shercliff layers, Reynolds stresses decrease with increase in $R_m$, leading to larger mean velocities in that region.Magnetohydrodynamische Kanalströmungen (MHD-KS) wurden bisher nur bei vernachlässigbar kleiner magnetischer Reynoldszahl $R_m$ untersucht. Bei endlichem $R_m$ wird das sekundäre Magnetfeld signifikant, was zu einer gekoppelten Entwicklung von Magnetfeld und leitfähiger Strömung führt. Die Charakterisierung solcher Strömungen ist essentiell für das Verständnis von wandbegrenzter MHD-Turbulenz und in Anwendungen wie z.B. elektromagnetischen Pumpen und der induktiven Strömungsmessung. Die Dissertation stellt ein Verfahren für die direkte numerische Simulation (DNS) von MHD-KS bei endlichem $R_m$ vor, welches dann auf drei Probleme angewendet wird. Am Anfang der Arbeit steht eine kurze Übersicht zur MHD und zum Stand des Wissens zu MHD-KS. Danach folgt eine Beschreibung des physikalischen Modells für die MHD-KS mit elektrisch isolierenden Wänden. Im Hauptteil der Arbeit wird ein hybrides Berechnungsverfahren entwickelt und implementiert, das auf finiten Differenzen sowie dem Randintegralverfahren basiert. Es dient zur Lösung der Induktionsgleichung mit Randbedingungen, die für einen stetigen Anschluss des Magnetfelds auf den Gebietsrändern zwischen Innen- und Außenraum sorgen. Eine detaillierte Verifikation des Codes wird durch Vergleich mit der quasistatischen Näherung vorgenommen. Anschliessend wird das Zeitverhalten der Lorentzkraft bei beschleunigter Bewegung einer leitfähigen rechteckigen Stange in einem lokalisierten Magnetfeld untersucht. Die Zeitantwort der Lorentzkraft hängt linear von $R_m$ ab und stimmt gut mit Experimenten überein. Für große $R_m$ sind die Maximalwerte der Lorentzkraft umgekehrt proportional zu $R_m$. Im weiteren wird das dynamische ``Weglaufen'' der Geschwindigkeit infolge von magnetischer Flussverdrängung in einer zweidimensionalen MHD-KS untersucht. Der Vergleich mit einem eindimensionalen Modell zeigt eine gute Übereinstimmung für das sogenannte Hartmann-Regime und den Bifurkationspunkt zum sogenannten Poiseuille-Regime, bei dem allerdings die Geschwindigkeit vom Modell überschätzt wird. Die Wellenlänge des Magnetfelds ist für den Bifurkationspunkt entscheidend. Abschliessend wird die turbulente Hartmannströmung untersucht. Bei endlichem $R_m$ verschiebt sich die Relaminarisierung zu größeren Hartmannzahlen und es wird großsk-alige Turbulenz angeregt. Zwischen den Shercliff-Schichten und dem Strömungskern verringern sich die Reynoldsspannungen mit steigendem $R_m$, was zu höherer mittlerer Geschwindigkeit und flacheren Geschwindigkeitsprofilen führt