Propagating the dimensional uncertainty in ellipse fitting. Application to the automatic detection of elliptic shapes in images

Abstract

The conic fitting from image points is a very old topic in estimation and pattern recognition. This problem gave rise to a lot of studies and arouses interests still today. Systematically, these works have been based on the algebraic representation of the conic to establish the optimization criteria. Less studied, the polar representation of the ellipse is costlier because it needs the optimization of the parametrization. Yet, we propose in this paper some new ideas about this question. First, we show that the estimation of the parameters and the parametrization separated permit to make the problem easier leading to a direct inversion and the search of the roots of a four degree polynomial respectively. We also show that the parametrization carries the dimensional characteristics of the ellipse and when it is correctly disrupted in the minimization process, we constraint the ellipse search space. This new result gives an estimate without dimensional bias in a noised and incomplete context. A confidence envelope is then estimated to direct the search for continuations of the ellipse. At last, we propose a hierarchical grouping and fitting stage following with a fuzzy decision step to detect automatically the elliptic shapes in the images.L'ajustement d'une ellipse sur des données 2D est un très vieux sujet en estimation et en RDF, qui a donné lieu à de nombreuses études [2,6,10,15,16,21] et en suscite encore aujourd'hui [12,17,19,24]. D'une façon systématique, ces travaux se sont appuyés sur la représentation algébrique de la conique pour établir leur critère de minimisation. Un peu moins étudiée [5], la représentation polaire de l'ellipse constitue une alternative plus coûteuse car elle nécessite l'optimisation de sa paramétrisation. D'une représentation nécessitant au plus 5 paramètres à une autre définie par 5 + N (N étant le nombre de données), le choix semble évident. Cependant, nous proposons dans cet article de nouvelles idées sur la question. Tout d'abord, nous montrons que l'estimation séparée des paramètres et de la paramétrisation de l'ellipse permet de simplifier le problème en aboutissant respectivement à une inversion directe pour les premiers et à la recherche des racines d'un polynôme du 4ième ordre pour la seconde. Nous montrons également que la paramétrisation est « porteuse » de l'information dimensionnelle de l'ellipse et qu'en la « perturbant » correctement dans le processus de minimisation il est possible de forcer la solution à rester dans un espace paramétrique préétabli. Ce résultat nouveau permet de fournir une solution sans biais dimensionnel même dans un contexte fortement bruité et incomplet. Une enveloppe de confiance est ensuite estimée assurant à la fois un encadrement plus large de la solution et le rôle de filtre pour la recherche des segments voisins candidats potentiels pour affiner l'estimation. Enfin, nous proposons une stratégie de regroupement/ajustement suivie d'une phase de décision floue constituant ainsi un schéma robuste de détection de formes elliptiques dans les images