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L'equazione di Navier-Stokes stocastica in due dimensioni

By Enrico Peruzzo

Abstract

In questo lavoro è stato svolto uno studio delle proprietà di base dell'equazione di Navier-Stokes stocastica, che rappresenta il modello più semplice dal punto di vista matematico capace di dare una descrizione probabilistica del fenomeno della turbolenza. Tale modello si ottiene aggiungendo all'equazione di Navier-Stokes deterministica un termine forzante di tipo stocastico: il vantaggio di questa scelta consiste nel fatto che essa rende disponibile per lo studio dell'equazione uno strumento noto come il calcolo di Ito. Poiché la teoria matematica è maggiormente consolidata per il problema in due dimensioni spaziali, si è scelto di limitarsi a studiare questo caso. Sempre nella ricerca di un contesto matematicamente semplice in cui affrontare il problema, si è scelto anche di considerare campi di velocità periodici e a media nulla, dato che l'utilizzo di sviluppi in serie di Fourier si rivela spesso di grande aiuto: la speranza è che, nonostante le semplificazioni, un modello di questo tipo sia già in grado di cogliere gli aspetti essenziali del fenomeno. Per prima cosa sono stati studiati alcuni spazi di funzioni (spazi di Sobolev di funzioni periodiche a media e divergenza nulle) che rappresentano il contesto ideale in cui riformulare il problema come un'equazione differenziale stocastica ambientata in uno spazio di Hilbert. Per lo studio di un problema di questo tipo si possono quindi utilizzare strumenti propri dell'analisi funzionale, in particolare i semigruppi di operatori lineari. Con l'ausilio di tali strumenti è possibile dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione dell'equazione di Navier-Stokes stocastica in due dimensioni mediante un argomento di punto fisso. Si è poi dimostrata l'esistenza di una misura invariante per il semigruppo di transizione associato al problema: in questa fase si è preferito utilizzare il metodo di Galerkin (anche se è disponibile una dimostrazione alternativa), vista l'importanza fondamentale che esso riveste nello studio dell'equazione di Navier-Stokes

Topics: SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Publisher: Pisa University
Year: 2007
OAI identifier: oai:etd.adm.unipi.it:etd-09032007-141821

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