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STUDIO DI PROPRIETA' TOPOLOGICHE DI SUPERFICI ALGEBRICHE IN RP^3: UN APPROCCIO ALGORITMICO

By Massimo Mongia

Abstract

In questa tesi vengono presentati degli algoritmi che individuano la topologia e le posizioni reciproche delle componenti connesse di una superficie proiettiva reale non singolare S in RP^3 a partire da un polinomio omogeneo a coefficienti in Q libero da quadrati che la definisce come luogo dei suoi zeri reali; le strategie proposte permettono anche di determinare se ciascuna componente connessa è contraibile o meno. Una superficie può essere collocata in RP^3 in modi diversi; infatti può accadere che per due superfici omeomorfe S1 e S2 immerse in RP^3 si abbia che le coppie (RP^3,S1) e (RP^3,S2) non siano omeomorfe, cioè che non esistano omeomorfismi £ da RP^3 in RP^3 tali che £(S1)=S2. Se le coppie (RP^3,S1) e (RP^3,S2) sono omeomorfe tramite £, si dice che £ è un “omeomorfismo d’ambiente” (ricordiamo che al momento attuale non esiste una classificazione a meno di omeomorfismi delle coppie (RP^3,S)). Gli algoritmi trattati calcolano un insieme di dati per la coppia (RP^3,S), invarianti per omeomorfismi d’ambiente, che, sebbene non sufficienti a individuare (RP^3,S), permettono di ricostruire la topologia di S e danno informazioni sulla sua immersione in RP^3. Nel capitolo 1 si descrive l’insieme dei dati studiati: la “lista delle caratteristiche di Eulero delle componenti connesse di S” e il “grafo di adiacenza pesato di S in RP^3”. Il capitolo 2 è dedicato all’analisi del caso, più semplice, in cui S appartiene a una carta affine di RP^3. In questa ipotesi, la lista delle caratteristiche di Eulero delle componenti connesse di S e il grafo di adiacenza pesato di S in RP^3 vengono determinati ricostruendo ricorsivamente un insieme di dati ausiliari per mezzo di “cammini di connessione” tra un numero finito di curve di livello di S. Nel capitolo 3 sono presentate due soluzioni numeriche sostanzialmente diverse del problema del calcolo del punto finale di un cammino di connessione, la seconda delle quali costituisce la proposta originale di questo lavoro. Nel capitolo 4, infine, si mostra come ricondursi, nel caso generale, allo studio di una superficie compatta affine non singolare opportunamente costruita

Topics: SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Publisher: Pisa University
Year: 2005
OAI identifier: oai:etd.adm.unipi.it:etd-10112005-044013
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